Modèle en couches

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₁

Modèle en couches

Théoriquement, l’équation de Schroedinger devrait nous donner une fonction d’onde du noyau, à partir de laquelle on peut évaluer toutes les propriétés, interactions et réactions MAIS….

• force nucléaire mal connue

• trop de paramètres

• équations de forces à plusieurs corps très complexes (impossibles…)  simplifications et approximations

Exemples:

Modèle de la goutte d’eau Modèle de gaz de Fermi Modèle en couches

- modèle de particules indépendantes

- particules indépendantes dans un noyau déformé Modèle Hartree-Fock

Nilsson, …

Modèle en couches

Idée générale:

Chaque nucléon est indépendant, mais subit l’effet d’un potentiel central moyen créé par les autres nucléons

On remplace le potentiel d’interaction 2 à 2, par un potentiel central symétrique moyen plus un potentiel résiduel, c-à-d un potentiel qui ne peut être décrit par un potentiel central. Le potentiel résiduel est présumément petit et peut être traité comme une perturbation.

2 2 1

1

2 2 ( , )

A

ij i j

i i i j

V r r

m E

 

   

  

   

   

  

 

 ^  ^{ }

Hamiltonien

1

2 _ij( , )_{i j}

i j

V r r



résiduel

1

2 _ij( , )_{i j} ( )

i j

V r r V r V



 



2 2

0 ^A1

2 ( )

i i

H V r

m



 

      

 

 ^

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₃

Modèle en couches

Principe de Pauli:

Deux nucléons ne peuvent pas se trouver dans la même orbite avec les mêmes nombres quantiques. Un nucléon de valence ne peut donc pas tomber à un niveau

d’énergie déjà rempli, et donc les autres nucléons agissent comme un coeur impénétrable et inerte. C’est ce qui justifie de faire l’approximation d’un potentiel moyen central.

Formellement, on tient compte du principe de Pauli on forçant la fonction d’onde à être antisymétrique sous l’échange de 2 nucléons

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

1

( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( )

det ... ... ... ...

!

( ) ( ) ... ( )

A A

A A A A

r r r

r r r

A

r r r

  

  

  

 

 

 

   

 

 

  

  

  

Il faut aussi avoir une fonction d’onde finale qui soit une fonction propre de moment angulaire

fonction d'onde pour la particule ( ) :

i rj i j

 ^

Modèle en couches



 



2 2

2

, ,..., , ,...,

( )

A A

i i

i

H r r r E r r r

H V r



  

 

     

 



     

 

On a un nombre infini d’états possibles du système de A nucléons. On choisit une base (finie) d’états: _k







 



1

, , ...,

, , ...,

k

r r r a r r r



 ^{  }    ^{  }

Équations linéaires

résoudre l'équation par diagonalisation de la matrice

j j

k j k j

k

k jk j

k

H E

a H a E

a H a E

    

  

 





Le choix de la base d’états va dépendre de notre modèle. On choisira comme base des états proches de la surface de Fermi, de basse énergie. Les autres nucléons sont dans le coeur et sont difficiles à exciter.

1

( )

( )

( )

k

 r  r 

r

      

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₅

Nombres magiques

masses

moments

quadrupolaires électriques

Basdevant

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₇

même forme que la distribution de charge de Fermi

Oscillateur Harmonique 1

V  2 m r 

approximation pour états liés profondément

1 0

32 32

1 2 3 0

2 1

1 2 3

,

,

, , ,... , , ,

( ) ,...

n

n

e n

e





 

    



  





  



2( 1)

N  n  2 2( 1) ^états m_ pour chaque valeur de 

nombres magiques prédits:

2, 8, 20, 40, 70 aura des valeurs propres du type: ( )

( ) u r ^m( , )

r Y

r  

  _ ^{d u2}₂ ^2m₂





dr r

  

      

 

 Solutions:

 

 

États de même énergie:

pair: 1 0 2 1

2 2

1 1

impair: 1 3 1

2 2

( , )

, , , , ... ,

, , , , ... ,

n l

N N

N N

N N

N N

    

   

   

 

   

   

   

N: definit une couche

2 2 41 1 3^/ MeV

E K V   A m r    A^

Énergies des couches espacées de ħ

Parité: (−)^

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₉

Puits carré infini

( ) 0 r R

V r r R

 

    

aura des valeurs propres du type: ( )

( ) u r ^m( , )

r Y

r  

  _ ^{d u2}₂ ^2m₂

 

dr r

  

     

 



Solutions: 2

( ); mE

u r j kr _ k



2 2

2 2

2

fonctions de Bessel 0 pour des valeurs de

2 2

( ) : _k

k k

j kr kR

E k

m mR





 

  







0 pour u r( ) r R

2

2/2 2

E

mR 

  

9.87 20.2 33.2 39.5 48.8 59.7 77.1 82.7 88.8

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₁₁

potentiel spin-orbite

En physique atomique:

champ magnétique produit par un électron en orbite interagit avec le moment magnétique de l’électron En physique nucléaire:

neutrons n’ont pas de charge électrique. Un potentiel spin-orbite résulte des champs quantiques

ˆ

( )

V

  V r     s

 

 

 

2 2 2

3

1 1

2 2 4

1 1

2 2

1 1

2 2

1 2

1 1 1 1

2

1 1 1

2

1

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

s s s

j j s s

j j

 

      

     

 

        

  

      

   

  

 

   

 

 

 

1 1

2 2

1 1

2 1 2

ˆ ( )

s ( )

V r j

V V r j

  

 

  

 

 

 

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₁₃

Bertulani

ordre des niveaux peut être inversé:

- protons: effet Coulombien - potentiel résiduel

Modèle Extrême à une seule Particule

Cas extrême:

tous les nucléons remplissent une couche complètement, sauf un nucléon de valence  en 1^ere approximation, les nucléons du coeur sont fortement liés

et seul le nucléon de valence peut être excité (sauf pour des excitations de très haute énergie) État fondamental près d’une couche fermée:

Noyaux pair-pair: tous les nucléons sont liés et couplés 2 à 2  spin = 0, parité = +

Noyaux impairs: un nucléon de valence dans l’orbital juste au-dessus du gap

Noyaux impair-impair: deux nucléons de valence dans l’orbital juste au-dessus du gap  jnjp  J jnjp^;   ^{( )np}

     

       

     

2 4 2

16

8 8 1 2 3 2 1 2

2 4 2

17 17

8 9 9 8 1 2 3 2 1 2

2 4

15 15

8 7 7 8 1 2 3 2 1 2

1 5 2 1

52

12

Exemples:

1 1 1

ou 1 1 1

o

0

u 1 1

1 1

/ / /

/ / /

/ /

/

/

:

: :

O s p p

O F s p p

N s

d

O p p







  

 

  

 

  

 

quelques exceptions: dues aux énergies d’appariement, plus fortes pour des ¹⁰¹44Ru57;²⁰³81Tl122;²⁰⁵81Tl123

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₁₅

Modèle à une seule Particule

quelques nucléons de valence

 en 1^ere approximation, les nucléons du coeur sont fortement liés et seul les nucléons de valence peuvent être excités

(sauf pour des excitations de très haute énergie)

1 1 2 2

base :  

 ( ) r    ( ) r   

( ) r 

     

     

     

1 5 2 5 2 1 2

2 5 2 5 2 5 2

3 5 2 5 2 3 2

combinaisons

/ / /

/ / /

/ / /

...

d d s

d d d

d d d

 

 

 





 



1

, ,...,

, , ...,

k

r r r a r r r



 ^{  }    ^{  }

État fondamental près d’une couche fermée:

mélange de configuration: exemple ¹⁹₉F₁₀

Lignes de Schmidt

Moment magnétique dipolaire:

Rappel:





N

g L gS e



 

1 proton 5 584 proton

0 neutron -3.826 neutron

.

g  gs 

   

 



Dans le modèle à une seule particule:

On fait l’approximation que tous les nucléons sont couplés 2 à 2 donnant un spin

=0, et qu’un seul nucléon détermine le spin, parité et moment magnétique

 

 

  ^{ }  

 

1 1

1 1

1

( ) ( )

( ) ( )

( )

N N

s N N

s s

s

J J J j j j

g gs j

j j

g j

g

j j j

j g

j

g s j g g s j g j j g g s j

g j j j j

g g g j

g j j

s

   

 

 

      

 

 

  

 



        

 

 

  







   





     

 

 

  

  

 

   







   



Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₁₇

 

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1 1

1 1

2 2 2

1

( ) ( )

( )

j s s j s j j j

j j

s j

j j

                

  

   

    









12

1 2

1 2

2

2 1

ou

2 1

( )

( )

( )

( )

s

obs N N

s

s

obs N

g g g

g j j j

j g g j

g j

g g g j j

  

 

   

 

 

     

  

 

 

 

 

  

    

 

 

 



 



On peut savoir si ou d’après la parité de l’état fondamental du noyau (ou d’après la prédiction du modèle de partiule indépendante avec spin-orbite)

1

j   2 ^{j   12}

Les valeurs observées se trouvent entre ces deux limites

- le modèle est simpliste: tenir compte de mélange de configurations - courants mésoniques

j  j 

Z impair

N impair

von Buttlar

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₁₉

États Excités

états de parité négative: brisure d’une paire  2 particules + un trou

17 8

O

Énergie d'appariement importante pour =13/2 J  3p pour l'état fondamental1 2_/ 207

82Pb125

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₂₁

5 5

0 1 2 3 4 5 2  2 , , , , ,

2 particules identiques  fonction d’onde antisymétrique

Il peut être prouvé (propriétés des coefficients Clesch-Gordan) que seuls les spins J = paire produisent des fonctions d’onde antisymétriques

 J = 0⁺, 2⁺, 4⁺

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₂₃

2

( )

H r  H  H

      s 

 

Noyaux déformés: rotations