Modèle de potentiel de QCD pour les nucléons

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Modèle de potentiel de QCD pour les nucléons

I.K. Bensafa

To cite this version:

Mod`ele de potentiel de QCD pour les nucl´eons.

I.K.Bensafa

Laboratoire de Physique Corpusculaire

Universit´e Blaise Pascal/CNRS-IN2P3, F-63177 Aubi`ere, France

January 20, 2006

1

Potentiel “Coulombien+lin´

eaire”

Plusieurs mod`eles ont ´et´e r´ealis´es jusqu’`a maintenant pour la d´etermination du spectre de la masse des baryons dans QCD non perturbative. En g´en´eral l’approche utilis´ee dans les mod´eles des quarks est celle de l’oscillateur har-monique ([1], [2]). Il existe une autre approche celle du mod`ele de potentiel, qui est en bon accord avec QCD. Dans cette approche le potentiel utilis´e est d´efini comme suit [3]: V (rij) = −(− αs rij +3 4σrij+ c)Fi.Fj (1)

Le facteur Fi.Fjrepr´esente le terme de couleur, et en moyennant sur la partie

couleur, on obtient (αij = hFi.Fji_c= −23).

Ce potentiel est consistant avec les propri´et´es de QCD (confinement et libert´e asymptotique). Le premier terme (Contenant la constante de couplage αs) est

un terme attractif qui d´ecrit le confinement. Le deuxi`eme terme d´ecrit une struc-ture de corde. Les constantes (αs,σ,c) sont des param`etres ph´enom´enologiques

d´etermin´es `a partir d’un fit exp´erimental et du d´edoublement des masses m∆−

mN .

Dans ce pr´esent travail, le calcul de l’´energie a ´et´e r´ealis´e, en utilisant les param`etres de la r´ef´erence [4]. plus loin.

2

Correction semi-relativiste `

a l´

energie cin´

etique

La correction semi-relativiste est introduite pour simplifier la forme de la partie cin´etique de l’Hamiltonien. Ce qui nous donne l’approche suivante [5]:

L’Hamiltonien du syst`eme s’´ecrit donc : H = 3 X i<j=1  (P 2 i 2Mi +Mi 2 + m2 i 2Mi ) + V (rij)  (3) Pour calculer l’´energie E d’un ´etat physique, on utilise la m´ethode varia-tionnelle. Cette m´ethode nous permet par minimisation de E, de d´eterminer le param`etre variationnel de la fonction d’onde d’essai (α) d´efinit dans la partie (3.1) et les masses dynamiques (Mi) contenues dans la partie semi-relativiste de

l’´energie cin´etique de notre syst`eme avec (∂Ei

∂Mi = 0 et

∂Ei

∂α = 0). Ces masses

dy-namiques sont plus grandes que les masses constituantes des quarks (mi). Elles

sont introduites pour absorber les corrections apport´ees par les effets relativistes de la partie cin´etique de l’Hamiltonien H de notre syst`eme.

3

Application du mod`

ele de potentiel aux

nucl´

eons `

a l’´

etat fondamental

_{(L = 0)}

Le potentiel V (rij) est trait´e globalement ici comme un terme non perturbatif.

`

a l’en contre `a ce qui a ´et´e r´ealis´e dans [6] o`u le V (rij) est ´ecrit comme le

potentiel propre de l’oscillateur harmonique (Kr2

ij/2) plus une anharmonicit´e

qui est trait´ee comme une perturbation. La fonction d’onde utilis´ee est celle de l’oscillateur harmonique. Cette ´etude a donn´e des r´esultas int´eressants pour le calcul des ´energies des excitations orbitales des baryons.

3.1

D´

etermination de la fonction d’onde

Tout d’abord on va d´efinir les variables de Jacobie (−→ρ = 1 √

2(−→r1 − −→r2), −

→_{λ =}

1 √

6(−→r1+ −→r2− 2−→r3)) et leur moments orbitaux associ´es (lρ, lλ), afin de simplifier

le probl`eme de trois corps (baryons) `a un probl`eme `a deux corps. La fonc-tion d’onde totale |qqqi du syst`eme est construite en g´en´eral d’une somme de CAP χΨΦ, avec (CA, χ, Ψ, Φ) repr´esentent respectivement la fonction d’onde

de couleur totalement antisym´etrique, la fonction d’onde de spin, spatiale et de saveur,

|qqqi = |couleuriA × |Spatiale, Spin, SaveuriS (4)

o`u les indices A et S indiquent l’antisym´etrie et la sym´etrie sous l’´echange de toute paire de quarks `a masses ´egales.

o`u Ym

l (Ω) sont les harmoniques sph´eriques, qui sont fonctions propres de

l’op´erateur L2_{. Les C}

lρlλ sont des coefficients d´etermin´es par la proc´edure

de diagonalisation de la matrice HR. La minimisation de l’´energie du syst`eme

nous permet la d´etermination des param`etres variationnels de la fonction d’onde (αρ, αλ) et des masses dynamiques (Mu, Md). La valeur moyenne de l’Hamiltonien

relatif HRsur la fonction Ψ00donner par la relation suivante :

E(αρ, αλ, Mi) = hΨ

00| HR|Ψ00i

hΨ00| Ψ00i

(6) Ap`es le d´eveloppe de la fonction Ψ00 sur la base des ´etats (lρ, lλ). Le

r´esultat obtenu apr`es application des r`egles de s´election est une superposition de |lρ= 0, lλ= 0i et |lρ= 2, lλ= 2i:

|Ψ00i = c1|00i + c2|22i (7)

4

Calcul variationnel

L’expression (7) montre que l’´etat physique est un m´elange des ´etats de mo-ments orbitaux relatifs lρ,lλ = 0, 0 et lρ,lλ = 2, 2, les coefficients c1,c2 sont les

coefficients de ce m´elange. Pour calculer l’´energie de l’´etat physique |Ψ00i , on

commence par ´evaluer les ´el´ements de la matrice HR dans la base {|00i, |22i},

la matrice est donc 2 × 2 non diagonale, si on d´esigne par T l’´energie cin´etique et par V l’´energie potentielle, la matrice HR s’´ecrit :

HR=  h00| (T + V ) |00i h00| V |22i h22| V |00i h22| (T + V ) |22i  (8) On note que par analogie aux travaux de Capstik [6], on a αρ ' αλ, dans le

cas de l’oscillateur harmonique, αρ et αλ sont proportionnels aux masses mρ et

mλdans le cas des baryons constitu´es des quarks de mˆeme masse. On remplace

donc dans la fonction |Ψ00i, αρ = αλ = α. Le calcul des ´el´ements Tlρlλ,l0ρl0λ

est trait´e en d´etail dans l’appendice (A.1), les ´el´ements non nuls sont les deux ´el´ements diagonaux T00,00 et T22,22, ces ´el´ements sont donc donn´es en fonction

de α, Mu,Md.

Le calcul des ´el´ements de l’´energie potentielle n´ecessite d’´evaluer des int´egrales six dimensionnelles sur la forme du potentiel V (−→ρ , −→λ ) qui contient des termes coupl´es en ρ, λ et l’angle θ entre les deux vecteurs (−→ρ , −→λ ), voir la fig(2).

5

Correction hyperfine et calcul des masses des

baryons non-´

etranges pour

_{(L = 0)}

Vhyp= Vc+ Vt (9)

O`u le premier terme (appel´e terme de contact de Fermi), repr´esente l’interaction spin-spin entre les quarks dans le baryon. c’est la correction principale dans l’´etat fondamental, o`u le moment angulair total ´egal z´ero.

Vc= − N X i<j=1 αij 8παh 3MiMj σ3 h √ π3exp(−σ 2 hr 2 ij)Si.Sj (10)

(αh, σh) sont des param`etres fit´es dans le model [4], voir tableau(1)

Le deuxi`eme terme (appel´e terme de tenseur) repr´esente l’interaction sta-tique des deux dipoles magn´esta-tique intrins`eque. Il est op´eratif seulement dans le cas o`u le moment angulair orbital est sup`erieur a z´ero. il s’´ecrit sous la forme:

Vt= − N X i<j=1 αij αs MiMj 1 r3 ij ((3Si.r)(Sj.r) − Si.Sj) (11)

Le tableau (1) montre les r´esultats obtenus des masse des baryons (N et ∆(1232)) et du rayon carr´e du pronton compar´es avec le r´esultat exp´erimental. M0 repr´esente la masse sans la correction hyperfine de type spin-spin, Mcor est

la masse trouv´ee avec la correction spin-spin.

α Mu Md M0 Mcor Eexp N (12 + ) 200 480 480 1068 968 938 ∆(3 2 + ) 200 480 480 1068 1168 1232

Table 1: Masses des baryons (en M eV ) avec et sans corrections spin-spin com-par´es aux r´esultats exp´erimentaux

6

Application du mod`

ele de potentiel aux

nucl´

eons `

a l’´

etat excit´

e

_{(L = 1)}

Dans ce cas la fonction d’onde spatiale est une combinaison lin´eaire des deux ´etats (Ψρ_1M, Ψλ

1M), qui s’´ecrit comme suit :

Ψ1M(−→ρ , −→λ ) = c01Ψ ρ

o`u: Ψρ_1M(−→ρ , −→λ ) = C10 X mρ,mλ N10h1mρ0mλ| 1Mi ×ρExp[−1₂α2_(ρ2_{+ λ}2_)]Ymρ 1 (Ωρ)Y0mλ(Ωλ) (13) Ψλ1M(−→ρ , −→λ ) = C01 X mρ,mλ N01h0mρ1mλ| 1Mi ×λExp[−1₂α2_(ρ2_{+ λ}2_)]Ymρ 0 (Ωρ)Y1mλ(Ωλ) (14)

Apr`es avoir trouv´e la masse du nucl´eon sans correction hyperfine qui est ´egale `a MN = 1590, pour les valeurs (α = 192M eV , Mu = Md = 1485M eV ),

Le tableau suivant r´esume les r´esultats obtenus pour la masse des baryons avec correction hyperfine et les coefficients de m´elange, pour une excitation orbitale L = 1: M0 cor Mcor0 “Coulombien+lin´eaire” [1] N? 1 2 (1535) 1564 1490 N? 1 2(1650) 1600 1655 N? 3 2 (1520) 1573 1535 N? 3 2 (1700) 1620 1745 ∆? 1 2(1620) 1607 1685 ∆? 3 2 (1700) 1607 1685 Table 2: Masses M0

cor(en M eV ) des baryons (pour L = 1 avec correction

hyper-fine) calcul´es par le mod`ele de potentiel “Coulombien + lin´eaire” et compar´es avec le r´esultat trouv´e par Isgur et Karl [1] .

References

[1] N. Isgur and G. Karl, Phys. Rev. D 18 (1978) 4187. [2] S. Capstick and N. Isgur, Phys. Rev. D 34 (1986) 2809. [3] S.Godfrey and N. Isgur, Phys. Rev. D 32 (1985) 189.

[4] E.S Swanson Preprint CPT#2047 (1992) submitted to Ann. Phys. (NY). [5] G.Jaczko, L.Durand, Phys. Rev. D 58, (1998).