Forces et Modèles Nucléaires

Forces et Modèles Nucléaires

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₂

Indépendance de charge de la force nucléaire



Rappel

o

force nucléaire >> force électromagnétique



mais de courte portée



la «charge» de l’interaction forte est la couleur, portée par les quarks et gluons

o

F

~ F

d’après expériences de diffusion



p et n ont presque la même masse:

• ce sont deux états de la même particule, orientée différemment dans un espace d’isospin

• hadrons, formés de 3 quarks interagissant par interaction forte



deuton stable mais

He (pp) ou état nn n’existe pas à cause de l’état singulet en spin trop faible

o

Noyaux miroirs:



noyaux du type



essentiellement la même fonction d’onde, sauf corrections é.m.

et masses des nucléons



niveaux d’excitations très similaires

A A

Z

X



Y

noyaux miroirs

et états 0+ des noyaux pair-pair

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₄

11 11 6

C



B

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₆

Exemple

C vs

N

     

13 13

13

13 13

13

13 13 13 13

13 13

2

1 3 13

7 6

3

0 1

6 7

0 78MeV 2 22 MeV

7 6

6 7

3 1 3 1

5 4 5 1 5

. .

( ) ( )

. :

~

:

C C

H n nucl Coul

C

N C N C

H n nucl nucl Coul Coul

N C

Coul

M M m E E

M M m E E

M M M m

N C

E E E E

Z Z e Z Z

E c

R  c A



   

   

      

 

 

 

 

 



  

 

13 13

197 MeV-fm 0 245 1 MeV fm 137

2 22 0 78 0 245 42 30 MeV = 0 06 MeV

. ( )

~ . . . ( )

.

N C

nucl nucl

Z Z

E E

   

 

 

     

Théorie mésonique des forces nucléaires

Théorie des champs quantiques (ex: é.m.)

Théorie tenant compte de la relativité et de la mécanique quantique. Le champ de la force est représenté par des quanta (ex: photons) et l’interaction entre deux particules peut être décrite par un échange de quanta du champ

 diagrammes de Feynman

 les diagrammes avec plusieurs échanges sont peu probables car ils s’ont d’ordre supérieur dans l’approximation

Yukawa, 1935:

- portée de la force nucléaire ~ 1.4 fm

Il prédit l’existence d’une particule de mass ~140 MeV qui interviendrait dans la force nucléaire

1 4 fm

197 MeV-fm 1 4 fm 1 4 fm 140 MeV

.

. .

x p p

mc c

    



   

 



Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₈

Forces mésoniques



forces mesoniques (échange de meson pi) entre nucléons

«lien covalent»

Principaux mesons, connus aujourd’hui:

L’échange de pions est la principale composante de la force nucléaire

0

1 2

0

139.57 MeV ud, du 134.98 MeV 1 0

2

547.9 MeV 0 0

775.5 MeV 1 1

782 MeV 0 1

:

( ) ( )

:

: ( ) ( ) ( )

, : ( ) ( )

: ( ) ( )

PC

PC PC

PC

uu dd I J

c uu dd c ss I J I J

I J







 









 



 



 



   

 

 

Macroscopiquement, le meson est perçu comme une particule fondamentale. Il est relativement stable et sans «couleur». Plus microscopiquement, ce n’est pas l’échange de pions, mais plutot l’échange de quarks, gluons, etc., à très courte portée, tandis que le meson est une particule composite.

26 ns) (_ 

Wong

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₁₀

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₁₂

Théorie de diffusion (en très bref)

2

Loin de la région d'interaction,

amplitude de diffusion section efficace différentielle:

( , , ) ( , ) ; ( , )

( , ) ( , )

r ikz

e

r e f

r

d f

d

      

    



  

 

k



k’

2 2

0

Équation de Schroedinger:

0

2

Pour une symétrie azimuthale, on fait une expansion générale en fonction d'ondes ayant un moment angulaire bien défini:

Pour u

( )

( , ) ( ) ( , )

l

V E

r aY R k r

 



 



    







ne particule libre 0 : 1

2

Pour une diffusion élastique le potentiel ne peut que changer la phase 1

2 et l'amplitude:

4 2 1

( )

( , ) ( ) sin( )

( '),

( , ) sin( )

( )

r

r

V

R k r j kr kr

kr k k

R k r kr

kr

a i



 









  



  

 

 















0

4 2 1

( ) ⁱ sin ( )

i

l

e

f e Y

k







 

 



  



longueur de diffusion

0

0 ( ) 0

lim lim

k f k

a  ^k

 

   

4 a

  

angle de déphasage

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₁₄

Potentiel OPEP

OPEP: One Pion Exchange Potential (aussi One Boson Exchange)

Plusieurs autres potentiels, pour différentes conditions de S, T, L

Bon accord avec les déphasages mesurés

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₁₆

Forces à plusieurs corps

Deux nucléons libres vont interagir, en s’approchant, par échange de mesons

• échange d’un pion domine: premier ordre dans la théorie perturbative

• une fois qu’un pion aura été émis, il est moins probable d’émettre un 2e pion:

• masse échangée plus grande  portée plus courte

• dans le médium d’un noyau (masse infinie, ou simplement un noyau à 3 nucléons)

• un nucléon donné échange un pion avec un autre  moins d’interaction avec un 3e nucléon

 échange de 2 pions peut être avec 2 nucléons différents: force à 3 corps  conservation d’énergie: tout le noyau participe, et non pas seulement les 2 nucléons qui interagissent: interaction hors de la couche de masse

• Force à n corps difficile à évaluer expérimentalement

• portée (n corps) =

• Exemple: interaction pn étudiée par moyen de p + D

• tenir compte de l’interaction pp

• tenir compte des forces à 3 corps

2

1

1

( )

c n m c_

  

Forces nucléaires statiques

Les forces de liaison résultent d’un échange de mesons ayant une masse >> énergie cinétique des nucléons dans le noyau

 forces sont principalement indépendantes des vitesses à l’intérieur du noyau Les variables en jeu:

• r : distance relative entre nucléons

• _, _ : spins des nucléons

• _, _ : isospin des nucléons Potentiel le plus général:

En définissant les opérateurs d’échange de spin et d’isospin:

On peut démontrer que

       

centrale

statique V r0( ) 1 2 V r( ) 1 2 V r( ) 1 2 1 2 V ( )

V     _    _      _ r

2

1 2

2

1 2

1 pour 1

1 1 1

2 1 pour 0

1 pour 1

1 1 1

2 1 pour 0

( )

( )

P T P

P S P

 

 

  



  



 

        

 

        

centrale

statique

V

( ) V

( ) r

V r

( )

( ) r

V  r  P  P

 V P

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₁₈

Forces nucléaires statiques

force de Wigner pour 2 nucléons quelconques échange de 2 pions (parité du pion -ve)

force de Majorana ( opérateur de parité) 1

force de Bartlett (+) pour t

: :

( ) :

W

r M

L

B

V

V P

V



 

riplet de spin, (-) pour singulet force de Heisenberg

(+) pour triplet d'isospin, (-) pour singulet

H : V

centrale

statique

V

( ) V

( ) r

V r

( )

( ) r

V  r  P  P

 V P

   

non-centrale

1 2

12 2 1 2

statique

forces tensoriell s

3

e r r

V

S r

 

   





     

 

Modèle en couches

Théoriquement, l’équation de Schroedinger devrait nous donner une fonction d’onde du noyau, à partir de laquelle on peut évaluer toutes les propriétés, interactions et réactions MAIS….

• force nucléaire mal connue

• trop de paramètres

• équations de forces à plusieurs corps très complexes (impossibles…)  simplifications et approximations

Exemples:

Modèle de la goutte d’eau Modèle de gaz de Fermi Modèle en couches

- modèle de particules indépendantes

- particules indépendantes dans un noyau déformé Modèle Hartree-Fock

Nilsson, …

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₂₀

Modèle en couches

Idée générale:

Chaque nucléon est indépendant, mais subit l’effet d’un potentiel central moyen créé par les autres nucléons

On remplace le potentiel d’interaction 2 à 2, par un potentiel central symétrique moyen plus un potentiel résiduel, c-à-d un potentiel qui ne peut être décrit par un potentiel central. Le potentiel résiduel est présumément petit et peut être traité comme une perturbation.

2 2 1

1

2 2 ( , )

A

ij i j

i i i j

V r r

m E

 

   

  

   

   

  

 

 ^  ^{ }

Hamiltonien

1

2 _ij( , )_{i j}

i j

V r r



résiduel

1

2

i j

V r r V r V



 



2 2

0 ^A1

2 ( )

i i

H V r

m



 

      

 

 ^

Modèle en couches

Principe de Pauli:

Deux nucléons ne peuvent pas se trouver dans la même orbite avec les mêmes nombres quantiques. Un nucléon de valence ne peut donc pas tomber à un niveau

d’énergie déjà rempli, et donc les autres nucléons agissent comme un coeur impénétrable et inerte. C’est ce qui justifie de faire l’approximation d’un potentiel moyen central.

Formellement, on tient compte du principe de Pauli on forçant la fonction d’onde à être antisymétrique sous l’échange de 2 nucléons

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

1

( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( )

det ... ... ... ...

!

( ) ( ) ... ( )

A A

A A A A

r r r

r r r

A

r r r

  

  

  

 

 

 

   

 

 

  

  

  

Il faut aussi avoir une fonction d’onde finale qui soit une fonction propre de moment angulaire

fonction d'onde pour la particule ( ) :

i rj i j

 ^

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₂₂

Modèle en couches



 



2 2

2

, ,..., , ,...,

( )

A A

i i

i

H r r r E r r r

H V r



  

 

     

 



     

 

On a un nombre infini d’états possibles du système de A nucléons. On choisit une base (finie) d’états: _k







 



1

, , ...,

, , ...,

k

r r r a r r r



 ^{  }    ^{  }

Équations linéaires

résoudre l'équation par diagonalisation de la matrice

j j

k j k j

k

k jk j

k

H E

a H a E

a H a E

    

  

 





Le choix de la base d’états va dépendre de notre modèle. On choisira comme base des états proches de la surface de Fermi, de basse énergie. Les autres nucléons sont dans le coeur et sont difficiles à exciter.

1

( )

( )

( )

k

 r  r 

r

      

Nombres magiques

masses

moments

quadrupolaires électriques

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₂₄

Basdevant

même forme que la distribution de charge de Fermi

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₂₆

Oscillateur Harmonique 1

V  2 m r 

approximation pour états liés profondément

1 0

32 32

1 2 3 0

2 1

1 2 3

,

,

, , ,... , , ,

( ) ,...

n

n

e n

e





 

    



  





  



2( 1)

N  n  2 2( 1) ^états m_ pour chaque valeur de 

nombres magiques prédits:

2, 8, 20, 40, 70 aura des valeurs propres du type: ( )

( ) u r ^m( , )

r Y

r  

  _ ^{d u2}₂ ^2m₂





dr r

  

      

 

 Solutions:

 

 

États de même énergie:

pair: 1 0 2 1

2 2

1 1

impair: 1 3 1

2 2

( , )

, , , , ... ,

, , , , ... ,

n l

N N

N N

N N

N N

    

   

   

 

   

   

   

N: definit une couche

2 2 41 1 3^/ MeV

E K V   A m r    A^

Énergies des couches espacées de ħ

Parité: (−)^

Puits carré infini

( ) 0 r R

V r r R

 

    

aura des valeurs propres du type: ( )

( ) u r ^m( , )

r Y

r  

  _ ^{d u2}₂ ^2m₂

 

dr r

  

     

 



Solutions: 2

( ); mE

u r j kr _ k



2 2

2 2

2

fonctions de Bessel 0 pour des valeurs de

2 2

( ) : _k

k k

j kr kR

E k

m mR





 

  







0 pour u r( ) r R

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₂₈

2

2/2 2

E

mR 

  

9.87 20.2 33.2 39.5 48.8 59.7 77.1 82.7 88.8

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₃₀

potentiel spin-orbite

En physique atomique:

champ magnétique produit par un électron en orbite interagit avec le moment magnétique de l’électron En physique nucléaire:

neutrons n’ont pas de charge électrique. Un potentiel spin-orbite résulte des champs quantiques

ˆ

( )

V

  V r     s

 

 

 

2 2 2

3

1 1

2 2 4

1 1

2 2

1 1

2 2

1 2

1 1 1 1

2

1 1 1

2

1

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

s s s

j j s s

j j

 

      

     

 

        

  

      

   

  

 

   

 

 

 

1 1

2 2

1 1

2 1 2

ˆ ( )

s ( )

V r j

V V r j

  

 

  

 

 

 

Bertulani

ordre des niveaux peut être inversé:

- protons: effet Coulombien - potentiel résiduel

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₃₂

Modèle Extrême à une seule Particule

Cas extrême:

tous les nucléons remplissent une couche complètement, sauf un nucléon de valence  en 1^ere approximation, les nucléons du coeur sont fortement liés

et seul le nucléon de valence peut être excité (sauf pour des excitations de très haute énergie) État fondamental près d’une couche fermée:

Noyaux pair-pair: tous les nucléons sont liés et couplés 2 à 2  spin = 0, parité = +

Noyaux impairs: un nucléon de valence dans l’orbital juste au-dessus du gap

Noyaux impair-impair: deux nucléons de valence dans l’orbital juste au-dessus du gap  jnjp  J jnjp^;   ^{( )np}

     

       

     

2 4 2

16

8 8 1 2 3 2 1 2

2 4 2

17 17

8 9 9 8 1 2 3 2 1 2

2 4

15 15

8 7 7 8 1 2 3 2 1 2

1 5 2 1

52

12

Exemples:

1 1 1

ou 1 1 1

o

0

u 1 1

1 1

/ / /

/ / /

/ /

/

/

:

: :

O s p p

O F s p p

N s

d

O p p







  

 

  

 

  

 

quelques exceptions: dues aux énergies d’appariement, plus fortes pour des moments angulaires plus grands, et à d’autres éffets de potentiel résiduel

101 203 205

44Ru57; 81Tl122; 81Tl123

Modèle à une seule Particule

quelques nucléons de valence

 en 1^ere approximation, les nucléons du coeur sont fortement liés et seul les nucléons de valence peuvent être excités

(sauf pour des excitations de très haute énergie)

1 1 2 2

base :  

 ( ) r    ( ) r   

( ) r 

     

     

     

1 5 2 5 2 1 2

2 5 2 5 2 5 2

3 5 2 5 2 3 2

combinaisons

/ / /

/ / /

/ / /

...

d d s

d d d

d d d

 

 

 





 



1

, ,...,

, , ...,

k

r r r a r r r



 ^{  }    ^{  }

État fondamental près d’une couche fermée:

mélange de configuration: exemple ¹⁹₉F₁₀

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₃₄

Lignes de Schmidt

Moment magnétique dipolaire:

Rappel:





₂

N

g L gS e



 

1 proton 5 584 proton

0 neutron -3.826 neutron

.

g  gs 

   

 



Dans le modèle à une seule particule:

On fait l’approximation que tous les nucléons sont couplés 2 à 2 donnant un spin

=0, et qu’un seul nucléon détermine le spin, parité et moment magnétique

 

 

  ^{ }  

 

1 1

1 1

1

( ) ( )

( ) ( )

( )

N N

s N N

s s

s

J J J j j j

g gs j

j j

g j

g

j j j

j g

j

g s j g g s j g j j g g s j

g j j j j

g g g j

g j j

s

   

 

 

      

 

 

  

 



        

 

 

  







   





     

 

 

  

  

 

   







   



 

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1 1

1 1

2 2 2

1

( ) ( )

( )

j s s j s j j j

j j

s j

j j

                

  

   

    









12

1 2

1 2

2

2 1

ou

2 1

( )

( )

( )

( )

s

obs N N

s

s

obs N

g g g

g j j j

j g g j

g j

g g g j j

  

 

   

 

 

     

  

 

 

 

 

  

    

 

 

 



 



On peut savoir si ou d’après la parité de l’état fondamental du noyau (ou d’après la prédiction du modèle de partiule indépendante avec spin-orbite)

1

j   2 ^{j   12}

Les valeurs observées se trouvent entre ces deux limites

- le modèle est simpliste: tenir compte de mélange de configurations - courants mésoniques

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₃₆

j  j 

Z impair

N impair

von Buttlar

États Excités

états de parité négative: brisure d’une paire  2 particules + un trou

17 8

O

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₃₈

Énergie d'appariement importante pour =13/2 J  3p pour l'état fondamental1 2_/ 207

82Pb125

5 5

0 1 2 3 4 5 2

2

2 particules identiques  fonction d’onde antisymétrique

Il peut être prouvé (propriétés des coefficients Clesch-Gordan) que seuls les spins J = paire produisent des fonctions d’onde antisymétriques

 J = 0⁺, 2⁺, 4⁺

Automne 2009 G. Azuelos - Cours PHY3600 ₄₀

2

( )

H r  H  H

      s 

 

Noyaux déformés: rotations