Preuve et Analyse des Algorithmes LSPI-3 informatique Toulon.
juin
Le sujet est compos´e six exercices ind´ependants `a traiter en moins de deux heures.
Aucun document autoris´e. Vous ˆetes invit´es `a remettre une copie claire, concise, sans rature ni surcharge. Il est par ailleurs inutile de recopier l’´enonc´e. . .La note finale tiendra compte de la pr´esentation g´en´erale de la copie.
Q 1. Soitnun entier positif. Soitq >1 un nombre r´eel. On noteQ(n) la sommePn−1i=0 qi. Pour q fix´e, lesquelles de ces affirmations sont correctes
1. Q(n) = O(qn), 2. Q(n) = Θ(qn),
3. Q(n)∼qn, 4. Q(n) = o(qn),
Q 2. On consid`ere la suite de nombre entiers (Fn) d´efinie par les relations : F0 = 0, F1 = 1, ∀n ≥2, Fn =Fn−1+Fn−2.
1. Comment s’appelle cette suite ? Quelle est sa nature ? 2. Quel est le lien entre cette suite et l’algoritme d’Euclide ? 3. La r´ecursivit´e n’est pas appropi´ee pour calculer Fn. Pourquoi ? 4. Ecrire un algorithme it´eratif pour calculer Fn.
Q 3. Soit n un entier positif. On note S(n) la somme des n premiers nombres impairs i.e. suite arithm´etique de raison 2 de terme initial 1.
1. Exprimer S(n) en fonction de n.
i n t R( long long n ) { long long t = 1 ;
i n t k = 1 ;
while ( n > 0 ) { n = n − t ; t = t + 2 ; k = k + 1 ; }
return k−1;
}
v o i d A( n : e n t i e r ) {
s i ( n < 2 ) r e t o u r n e r s i n o n
A( n / 2 ) ; A( n / 2 ) ; B( n ) f s i }
Figure 1 – Fonction R. Algorithme A.
1
2. Que calcule la fonctionR en fig. ??? 3. Estimer le temps de calcul.
4. Une implantation traite l’intance 230 en 0.004s. Estimer le temps de calcul pour n= 260.
Q 4. On consid`ere le sch´ema algoritmique fig. ?? . On note α(n), respectivement β(n), le temps de calcul de l’algorithmeA, respectivementB. Dans la suitend´esigne une puissance de 2.
1. Quelle relation de r´ecurrence lie α etβ?
2. On suppose queβ est lin´eaire. Quelle est la forme du temps de calcul deA?
3. Donner deux exemples d’algorithmes du cours correspondant `a la question pr´ec´edente.
4. Quelle est la forme du temps de calcul de A quand β est quadratique.
Q 5.
1. D´eterminer une solution de 24149u+ 28681v = 1.
2. Quel est l’inverse de 24149 modulo 28681 ?
Q 6. On consid`ere la suite de nombre entiers (Fn) d´efinie par les relations : F0 = 1, F1 = 2, ∀n ≥2, Fn =Fn−1+Fn−2.
Pour un entier positif z, on note ν(z) le plus petit entier n tel que Fn≤z < Fn+1. 1. Ecrire un algorithmenu(z) pour calculer ν(z).
2. Montrer par induction surn que tout entier Fn ≤ z < Fn+1 se d´ecompose en une somme
z =
n−1
X
k=0
zkFk, 0≤zk≤1, 3. La d´ecomposition n’est pas unique, pourquoi ?
4. Montrer que la d´ecomposition devient unique sous la condition
∀k, zk = 1 =⇒zk+1 = 0.
(d´ecomposition de Zeckendorf) 5. Donner la d´ecompositions de 100.
6. Ecrire une fonctiondec(z)en langage C pour lister les coefficientszkd’une d´ecomposition de Zeckendorf de z.
7. Pr´eciser la forme du temps de calcul.
8. Pr´eciser le domaine de validit´e de cette fonction.
2
