A614 Notons Tn

A614

Notons T_n l’ensemble des triplets d’entiers (a, b, c) v´erifiant 1 ₆ a ₆ b ₆ c < a +b et a+b+c=n. t_n= card(T_n) est le nombre de triangles non d´eg´en´er´es `a cˆot´es entiers de p´erim`etre n. Soit l’application d´efinie par f(a, b, c) = (a⁰, b⁰, c⁰) aveca⁰ =a+ 1 , b⁰ =b+ 1 et c⁰ =c+ 1.

f est une injection de T_n dans T_n+3 puisque (a⁰, b⁰, c⁰) v´erifie 2 ₆a⁰ ₆b⁰ ₆c⁰ < a⁰ +b⁰−1. On obtient tous les triplets deT_n+3 sauf ceux qui v´erifient a⁰ = 1 ou c⁰ =a⁰+b⁰−1. En fait, a⁰ = 1 entraine b⁰ ₆ c⁰ < b⁰ + 1 = b⁰ +a⁰ donc c⁰ = b⁰ = a⁰ +b⁰ −1. Il reste donc `a d´enombrer les triplets de T_n+3 tels que c⁰ =a⁰+b⁰ −1. Cela entraine que n+ 3 = 2c⁰ + 1. Si n est impair, c’est impossible; si n = 2p, c⁰ = p+ 1 et a⁰ +b⁰ = p+ 2 avec a⁰ ₆ b⁰. Le nombre de triplets correspondant est alors ´egal au nombre de valeurs possibles pour a⁰, soit [^p+2₂ ].

On a donc montr´e que t_n =t_n+3 si n est impair alors que t_2p+3 =t_2p + [^p₂] + 1.

On peut maintenant d´eterminer les 8 entiers (n₁, ..., n₈) demand´es. Puisque t₂₀₀₅ =t₂₀₀₈, il faut n_{1 >} 2006. Si n₁ = 2006, n₈ = 2013 et les entiers t₂₀₀₆, t₂₀₀₈, t₂₀₁₁, t₂₀₁₃ sont uniques. Si n₁ = 2008, n₈ = 2015 et les entiers t₂₀₀₈, t₂₀₁₀, t₂₀₁₃, t₂₀₁₅ sont uniques. Si n₁ = 2007,n₈ = 2014 et les entiers t₂₀₀₈ et t₂₀₁₃ sont uniques alors que t₂₀₀₇ =t₂₀₁₀, t₂₀₀₉ =t₂₀₁₂ et t₂₀₁₁ =t₂₀₁₄. Les huit p´erim`etres demand´es sont les entiers de 2007 `a 2014.

On peut donner une expression de t_n en fonction de n. Si n est pair, t_n est l’entier le plus proche de n²

48, alors que si n est impair, t_n = t_n+3. Par exemple, t₂₀₀₈ = 84001. La suite (t_n) est la suite d’Alcuin (A5044) sur l’encyclop´edie des suites.

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