A614. Détente pour un octuor
Pour se « reposer » entre deux interprétations de l’opus 103* de L.V. Beethoven, les membres d’un octuor dénombrent les triangles non dégénérés de côtés entiers qui ont pour périmètres huit entiers consécutifs.
Chacun d’eux retient un périmètre différent de celui de ses voisins. Celui qui a analysé les triangles de périmètre égal à 2008 observe que seul un autre membre de l’octuor obtient comme lui un résultat différent des sept autres.
Quels sont les huit périmètres ?
* pour deux hautbois, deux clarinettes, deux cors et deux bassons
Solution
Proposée par Fabien Gigante
On notera le plus grand entier inférieur ou égal à .
Les triangles de périmètre considérés sont les triplets , , tels que et . Il n’est pas nécessaire d’imposer , , , ceci découlant implicitement de 0 .
Notons le nombre de ces triangles, soit :
Card , , \ ; On peut facilement énumérer les triangles pour 6 :
" Card # 0
$ Card # 0 % Card # 0
Card 1, 1, 1 1 ' Card # 0 ( Card 1, 2, 2 1 Pour les valeurs de * 6, on partitionne les triangles en trois sous-ensembles, de la façon suivante :
Card , , \ ; Card , , \ ; Card , , \ ; On évalue le cardinal de chaque sous-ensemble séparément :
Card , , \ ;
Card , , \ + 1 + 2 + 3 + 3;
Card -, -, - \- - - - -; - - - + 6 ./
Card a, b, c \a b c ; Card \ + 2 2
Card 2 \' 3 45 + 4'5
Card , , \ ; Card \ + 2 +
Card 2 \ %3 4.$% 5 + 45
Ce qui nous amène à poser, pour tout * 0 :
6 7 + 1 2 8 + 4
45
On calcule les premières valeurs de 6, et on établit une relation de récurrence:
6" +1, 6$ 0, 6% 0, 6 1 6:' 7 + 1
2 28 + 4
4 15 6 2 + 1 6 1 On en déduit aisément les valeurs suivantes 6'à 6$;: 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 3,4.
Revenons au nombre de triangles, et notons finalement que, pour tout * 6 : ./ 6
On en déduit aisément les valeurs suivantes /à $$: 1, 2, 1, 3, 2, 4.
Pour les valeurs supérieures, on fait appel à la relation : :$% 6:$% 6:/
:$%< = 6:$%> 6:$%>./
<
>?$
=@6 3A 6:/ 3 A + 1B
<
>?$
:$%< 6 = A
<
>?$
C 6 6:/+ 3 3C C 1 C 6 6:/ + 3C :$%< 3C² EC
Avec E 6 6:/, dont on calcule les premières valeurs grâce à celles connues de 6. Ainsi E" à E$$ valent : 0, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 6, 5, 7.
On obtient finalement l’expression de , selon chacune des progressions de raison 12 : $%< 3C²
$%<:$ 3C² 2C $%<:% 3C² C $%<: 3C² 3C 1
$%<:' 3C² 2C $%<:( 3C² 4C 1 $%<:/ 3C² 3C 1 $%<:; 3C² 5C 2
$%<:G 3C² 4C 1 $%<:H 3C² 6C 3 $%<:$" 3C² 5C 2 $%<:$$ 3C² 7C 4 Calculons les valeurs de %""G.; à %""G:; et retenons celles compatibles avec l’énoncé.
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007200720072007 200820082008 20092008 200920092009 201020102010 20112010 201120112011 2012201220122012 201320132013 20142013 201420142014 2015 tM 83667 83500 83834 83667 84001 83834 84169841698416984169 840018400184001 8433684001 843368433684336 841698416984169 8450484169 845048450484504 84336843368433684336 846728467284672 8450484672 845048450484504 84840 Les huit périmètres analysés par les membres de l’octuor sont 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014.
