A614 : Détente pour un octuor
Les triangles (a,b,c) avec a≤b≤c de périmètre P=a+b+c vérifient donc 1≤a≤P/3≤c≤P/2 et c-a<b≤c. Dénombrons les triangles obtenus pour les plus petites valeurs de c, selon la valeur du périmètre modulo 3 : si P=3m-1, il y a un triangle avec c=m (m-1,m,m), 3 avec c=m+1 (m-3,m+1,m+1)(m-2,m,m+1)(m-1 ,m-1,m+1), 4 avec c=m+2, 6 avec c=m+3, et ainsi de suite, en sautant les nombres congrus à -1 modulo 3. De même, si P=3m, on obtient la suite croissante des entiers, en sautant les valeurs divisibles par 3, et si P=3m+1, en sautant les valeurs congrues à 1 modulo 3.
Par ailleurs si P=4k-1, 4k, 4k+1 ou 4k+2, la plus grande valeur possible de c est 2k-1 (pour les deux premiers cas) ou 2k (pour les deux autres), et il y a alors respectivement k, k-1, k ou k triangles possibles. Il en résulte que le nombre total de triangles possibles est le même pour P=4k-1 et 4k+2, et pour 4k et 4k-3. Désignons par « jumeaux » les périmètres qui donnent un nombre égal de triangles : le jumeau de P est donc P-3 si P est pair, et P+3 si P est impair. Il en résulte qu’une suite de huit nombres consécutifs contient trois nombres dépareillés si elle commence par un nombre pair (et finit donc par un impair) et deux si elle commence par un nombre impair.
2008 a donc pour jumeau 2005 ; si ce dernier n’appartient pas à la suite, celle-ci va donc de 2007 à 2014.
