Il y a une erreur dans lénoncé : la suite commence à I0

CORRECTION DE L EXERCICE 130 PAGE 227

Il y a une erreur dans l énoncé : la suite commence à I 0 et il faut calculer I 0 dans la première question.

1. I

 

0

1

e

 

  e

0 1

e

e

1 e

. 2.

a. I

représente l aire sous la courbe C

entre les droites verticales d équations x 0 et x 1. On voit que les courbes sont "de plus en plus basses" donc cette aire est de plus en plus petite (le domaine sous C

est plus petit que celui sous C

…). Alors la suite ( ) ^I

est décroissante.

b. Vous ne pouvez pas calculer explicitement I

Soit n appartenant à . Soit x compris entre 0 et 1.

0 x 1 donc 0 x

x

(on multiplie chaque membre par x

qui est positif) donc 0 x

e

x

e

donc f

(x ) f

(x ) Sur [0 1], f

f

donc  

0

1

f

( x)dx  

0

1

f

( x)dx (th de la fin du V du cours) On a donc I

I

La suite ( ) ^I

est décroissante.

c. Sur [0 1], f

est positive (car x

0 et e

0) donc I

0 (l intégrale d une fonction positive est positive)

La suite ( ) ^I

est décroissante et minorée par 0 donc elle converge vers un réel L 0.

d. On cherche à utiliser le théorème des gendarmes en encadrant f

entre deux fonctions dont on sait calculer une primitive.

Soit n .

Soit x compris entre 0 et 1.

0 x 1 donc x 0

donc 0 e

1 (voir tableau variation de l exponentielle par exemple) donc 0 f

(x ) x

(on multiplie chaque membre par x

qui est positif) Alors (toujours le th de la fin du V du cours), 0  

0

1

f

(x )dx  

0 1

x

dx On calcule alors  

0 1

x

dx

 

0 1

x

dx

 

  1

n 1 x

0

1

1

n 1 0 1

n 1 Alors, pour tout n de , 0 I

1 n 1 . Or lim

n

I

lim

n

1

n 1 0 donc, d après le th des gendarmes, lim

n

I

0.