·+tn = 1−t 1−tn+1

PSI* — 2019/2020 — Corrigé partiel du T.D. 05 Page 1

9. On pose, pour tout ndansN,uⁿ=

1 0

dt

1 +t+· · ·+tⁿ.

Montrer que la suite (un) converge vers une limite ℓet étudier la nature de la série de terme général uⁿ−ℓ.

Solution : je remarque que

∀t∈[0,1[ 1

1 +t+· · ·+tⁿ = 1−t 1−tⁿ⁺¹ −→

n→∞1−t, ce qui donne l’idée d’écrire :

1

1 +t+· · ·+tⁿ = 1−tⁿ⁺¹+tⁿ⁺¹

1 +t+· · ·+tⁿ = 1−t+ tⁿ⁺¹ 1 +t+· · ·+tⁿ d’où, par linéarité de l’intégrale,

uⁿ= 1

2 +Iⁿ où Iⁿ=

1 0

tⁿ⁺¹dt 1 +t+· · ·+tⁿ.

Dans un premier temps, je constate que (Iⁿ) converge vers 0, grâce au théorème d’encadrement :

∀t∈[0,1] 1 +t+· · ·+tⁿ≥1 d’où 0≤Iⁿ≤

1 0

tⁿ⁺¹dt= 1 n+ 2. Par conséquent,

(un) converge versℓ= 1/2.

De plus je viens de voir queuⁿ−ℓ=Iⁿ≥0. Je majore un peu plus finement cette fois :

∀t∈[0,1] 1 +t+· · ·+tⁿ≥1 +ntⁿ et tⁿ⁺¹≤tⁿ⁻¹ d’où tⁿ⁺¹

1 +t+· · ·+tⁿ ≤ tⁿ⁻¹ 1 +ntⁿ. Ainsi, par croissance de l’intégrale,

0≤In≤

1 0

tⁿ⁻¹dt 1 +ntⁿ = 1

n² ln (1 +ntⁿ)

1 0

= ln (1 +n)

n² ∼ lnn n² . En conclusion, compte tenu de ce que nous savons sur les séries de Bertrand,

(uⁿ−ℓ) converge.