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D1837 - Passage obligé

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Soient un triangle ABC et un point D du côté BC. On trace une droite [∆] quelconque qui passe par D et coupe les droites [AB] et [AC] aux points E et F.Le cercles de diamètres BF et CE se coupent aux points P et Q. Démontrer que lorsque [∆] pivote autour de D, la droite [PQ] passe par un point fixe.

Les pieds HB et Hc des hauteurs issues de B et C appartiennent respectivement aux cercles de diamètre BF et CE ; de plus, HB et Hc appartiennent au cercle de diamètre BC, donc en écrivant la puissance de l’orthocentre H par rapport à ce cercle,

BH.HHB=CH.HHC . H a même puissance par rapport aux cercles de diamètre BF et CE, donc appartient à leur axe radical PQ : PQ passe donc par le point fixe H, quel que soit le choix de la droite [∆] mais aussi du point D.

D1837 - Passage obligé

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On trace une droite [∆] quelconque qui passe par D et coupe les droites [AB] et [AC] aux points E

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