D242
Question 1 Notons C le centre du cercle où se trouvent les neuf rochers, G1, G2, G3etH1, H2,H3respectivement les centres de gravité et les orthocentres des trianglesP QR, T U V etW XY,etGetG0les centres de gravité des triangles H1H2H3 etG1G2G3.
De par la caractérisation vectorielle de l’orthocentre, nous avons alors −−→ CG =
−−→CH1+
−−→CH2+
−−→CH3
3 =−−→
CG1+−−→
CG2+−−→
CG3= 3−−→
CG0.
G0 est aussi le centre de gravité des neuf pointsP, Q, R, T, U, V, W, X etY (pro- priété d’associativité des barycentres). Ainsi il ne dépend pas du choix des trianglesP QR, T U V etW XY.
Bref pour trouver le premier trésor (point G), il suffit de faire un choix des triangles et de réaliser la construction.
W
V
U
P
Q
R X
Y
H2 T H1
H3
G O
G1 G3
G2
G’
Question 2 NotonsJ et K les milieux des segmentsP Q etP0Q0.
Dans le plan complexe d’origineE,nous avonszP0 =zP+iz2P etzQ0 =zQ−iz2Q. D’oùzK =zP0+z2 Q0 =zJ+i(zP4−zQ).
Vectoriellement cela se traduit par−−→
J K = i4−−→
QP , ce qui prouve que la position deKne dépend pas de celle deE(en fait, dans cette question, peu importe que P E < QE ou que le triangleP EQsoit acutangle).
Bref pour trouver le deuxième trésor (pointK),il faut aller au milieu du segment P Q,puis tourner d’un angle droit de manière à voirE et parcourir le quart de la distanceP Q.
1
P
Q E
Q P P’
Q’
K J
2
