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Devoir surveill

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Sujet Gauche

Devoir surveill´e de math´ematiques n

3

Exercice 1

Dans chacun des cas suivants, exprimer le vecteur −−→

AGi en fonction du vecteur−−→

AB puis placer le point Gi sur la figure ci-dessous :

G1 =bar{(A; 1),(B; 4)} G2 =bar{(A; 1),(B;−3)} G3=bar{(A;7

3),(B;−2 3)}

A B

Exercice 2

En utilisant des barycentres partiels ainsi que la propri´et´e d’associativit´e du barycentre, d´eterminer la position des barycentres suivants puis les placer sur la figure ci-dessous :

G1=bar{(A; 4),(B; 1),(C; 1)} G2 =bar{(A; 7),(B; 5),(C; 2)} G3 =bar{(A; 2),(B;−1),(C; 2)}

A

B C

Exercice 3

D´eterminer les lieux g´eom´etriques suivants puis les tracer sur la figure ci-dessous : E1 : ||−−→

AM−5−−→

BM||= 2AB E2 : ||3−−→

AM+4−−→

BM||= 7BM E3 : ||−−→

AM+−−→

BM+2−−→

CM||= 4AM

A B

C

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(2)

Sujet Gauche Devoir surveill´e de math´ematiques n3

Probl` eme

L’objet de ce probl`eme est de d´eterminer la d´efinition barycentrique d’un type particulier de courbes appel´eescourbes de ezier quadratiques.

On consid`ere un triangle quelconqueABC et un nombre r´eeltappartenant `a l’intervalle [0; 1]. On d´efinit alors successivement les pointsI,J etK par :

−→

AI =t−−→

AB , −→

BJ =t−−→

BC et −→

IK =t−→ IJ

1. ´Etude d’un cas particulier

On consid`ere le cas particulier o`u t= 23.

1.1 Construire un triangle ABC quelconque puis placer les pointsI,J etK. 1.2 En utilisant la relation de Chasles, d´emontrer les ´egalit´es suivantes :

−→AJ = 1 3

−−→ AB+2

3

−→AC et −−→

AK = 1 3

−→ AI+2

3

−→AJ

1.3 En d´eduire−−→

AK = 49−−→

AB+ 49−→

AC.

1.4 En d´eduire que K=bar{(A;19),(B;49),(C;49)}.

2. ´Etude du cas g´en´eral

On consid`ere le cas g´en´eral o`u test un r´eel quelconque de l’intervalle [0; 1].

2.1 En utilisant la relation de Chasles, d´emontrer les ´egalit´es suivantes :

−→AJ = (1−t) −−→

AB+t−→

AC et −−→

AK = (1−t) −→

AI +t−→

AJ 2.2 En d´eduire−−→

AK = 2t(1−t) −−→

AB+t2 −→

AC.

2.3 En d´eduire que K=bar{(A; (1−t)2),(B; 2t(1−t)),(C;t2)}.

3. Figure

Sur la figure ci-dessous, construire les pointsK pourt= 0,t= 13,t= 12,t= 23 ett= 1. Tracer la courbe form´ee par les pointsK obtenus en faisant variertde 0 `a 1.

A

B

C

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