G107 – Les triellistes
Claude Morin, Pierre Henri Palmade, Daniel Collignon, Paul Voyer et Jaime Lobo (Costa Rica) ont répondu au problème
Solution de Claude Morin dans le cas où les taux de réussite de A,B et C sont 1,b et c avec 0
< c < b < 1 (questions 1 et 2)
Solution et commentaires de Pierre Henri Palmade (questions 1 et 3)
Supposons d’abord qu’il n’y ait pas entente préalable . Examinons d’abord les chances de chacun en duel. Dans le duel A contre B, si A commence, il abat B ; si B commence, il a 4/5 chances d’abattre A et 1/5 d’être abattu au coup suivant. De même dans le duel A contre C, si A commence, il abat C, et si C commence, il a 1/2 chance de survie et 1/2 pour A . Dans le duel B contre C, si B commence, il a 4/5 chance de tuer C, sinon C a 1/2 chance d’abattre B, etc : les chances de survie de B sont donc 4/5+1/5*1/2(4/5+1/5*1/2(…=4/5*(1/(1-1/10)=8/9 et 1/9 pour A. De même, si C commence, ses chances de survie sont
1/2+1/2*(1/5*1/2+…=1/2*(1/(1-1/10))=5/9 et 4/9 pour B.
Revenons au « triel » : Si A tire en premier, il va abattre B, puis C aura 1/2 chance d’abattre A. Si ce n’est pas le cas, A abat C. soit les chances de survie de A,B, C : (1/2, 0, 1/2)
Si le tirage désigne B pour tirer en premier, il va viser A et a 4/5 chances de l’abattre ; si c’est le cas, on a un duel entre B et C avec C qui commence donc 4/9 pour B et 5/9 pour C. Si B a raté A, et si c’est à A de tirer, on se retrouve dans la configuration où A tire en premier. Si c’est à C de tirer, il sait que s’il abat l’un des ses adversaires, il va se retrouver en duel avec le survivant, qui tirera d’abord, donc ses chances de survie sont nulles contre A et de 1/9 contre B. Tandis qu’elles sont 1/2 s’ils sont encore trois après son tir : il a donc tout intérêt à tirer en l’air ! En résumé, les chances de A seront 1/5*1/2=1/10, celles de B 4/5*4/9=16/45, celles de C 1/5*1/2+4/5*5/9=49/90 soit (9/90,32/90,49/90)
Enfin si C doit commencer, il va tenir le même raisonnement que plus haut, et tirer en l’air : on se retrouve dans l’une des configurations précédentes selon que le second à tirer est A ou B.
On voit donc que dans tous les cas, C, le plus mauvais tireur, a au moins une chance sur 2 de survivre (47/90 en moyenne, contre 27/90 pour A et 16/90 pour B).
Regardons ce qui se passe s’il y a entente préalable. Et d’abord, qu’entend-t-on par là ? Les deux qui se sont coalisés continuent-t-ils si leur adversaire est abattu ?
Supposons d’abord qu’ils continuent . Si A et B sont coalisés contre C et que A commence, il va abattre C, et n’a ensuite que 1/5 de survivre au tir de B. De même si B commence, il a 4/5 chance d’abattre C donc de se faire ensuite abattre par A et 1/5 de rater C qui tire alors en l’air, et on se retrouve dans le cas où A commence : les chances de survie de B sont alors 1/5*4/5=4/25. Dans les deux cas, le coalisé qui modifie en conséquence sa stratégie diminue ses chances de survie ! Donc pas d’intérêt à une entente préalable. De même, si A et C ou B et C s’entendent, le seul changement serait alors que C tirerait sur l’adversaire désigné au lieu de tirer en l’air, mais diminuerait ainsi ses chances de survie…
Cela est un peu différent si les coalisés arrêtent s’ils ont eu la peau de leur adversaire : s’il y a coalition contre A, rien ne change si A commence ; si B commence suivi de A non plus ; si B commence, suivi de C , pour que A survive, il faut que B puis C ratent, puis encore C après que A a abattu B, soit 1/20. Même chose si C commence suivi de B. Si C commence suivi de A, les chances de survie de A sont alors 1/4. Soit globalement 29/120 contre 27/90=3/10 en l’absence de coalition.
S’il y a coalition contre B, il n’a toujours aucune chance de survie si A commence ou est en second après C. Pas de changement non plus si B commence : s’il rate A, son compte est bon… donc 16/45 chances de survie) Si C commence, il a 1/2 chance d’abattre B ; sinon, dans le cas où c’est au tour de B, on retrouve le cas précédent, soit 8/45 chances de survie. En résumé, B aura alors 4/27 de survivre contre 8/45 sans coalition.
Enfin, s’il y a coalition contre C, C n’a aucune chance dans les configurations où A tire avant lui, et dans les autres cas, doit réussir son tir contre A et son duel contre B (où B commence), soit 1/18 chance, et en moyenne 1/36 : c’est donc lui, bien sûr, qui pâtit le plus d’une
coalition…
C’est même encore pire s’il ne se doute pas qu’il y a coalition (donc lorsqu’il commence) parce que, dans ce cas, il va tirer en l’air, puis se faire abattre par A. Ce n’est que dans le cas où il est en second derrière B, et que celui-ci le rate, qu’il s’aperçoit de la coalition et va tenter sa chance contre A ; sa probabilité de survie n’est alors plus que 1/108.
Solution et commentaires de Daniel Collignon (questions 1 et 3)
1/ Regardons tout d’abord ce qui se passe sur un duel entre X et Y où X tire le premier avec un taux de réussite x et évaluons la probabilité de survie de X notée XY(X).
Si X (X tire en l’air), alors XY(X) = YX(X)
Si XY, alors XY(X) = x + (1 - x)*YX(X) >= YX(X) étant toujours vérifiée, la seconde stratégie est donc meilleure (en fait si x>0 et YX(X)<1 ce qui est plutôt courant, alors l’inégalité est même stricte).
Nous pouvons calculer les probabilités de survie dans les duels, utiles pour la suite.
BC CB AB AC BA CA A X X 1 1 1/5 1/2 B 8/9 4/9 0 X 4/5 X C 1/9 5/9 X 0 X 1/2
Lecture : BC(B) = 8/9
Regardons à présent ce qui se passe sur un triel entre X, Y et Z où X tire le premier avec un taux de réussite x, Y tirant le second et Z le troisième, et évaluons la probabilité de survie de X notée XYZ(X).
Si X, alors XYZ(X) = YZX(X)
Si XY, alors XYZ(X) = x*ZX(X) + (1 - x)*YZX(X) Si XZ, alors XYZ(X) = x*YX(X) + (1 - x)*YZX(X)
Il est clair que si le taux de réussite de Z est strictement inférieur à celui de Y, alors XZ est une stratégie moins bonne que XY.
Nous en déduisons donc que les meilleures stratégies individuelles sont parmi : (A ou AB) et (B ou BA) et (C ou CA).
X, Y et Z serait en théorie la « meilleure stratégie » puisque personne ne serait tué mais cela serait une sorte d’anti-jeu infini (rappelons qu’il doit rester un seul survivant).
A, B et CA impliquerait que p(A) = 0 et donc la stratégie de A ne serait pas optimale.
B, C et AB impliquerait que p(B) = 0 et donc la stratégie de B ne serait pas optimale.
C, A et BA impliquerait que p(A) = 0 et donc la stratégie de A ne serait pas optimale.
A, BA et CA impliquerait que p(A) = 0 et donc la stratégie de A ne serait pas optimale.
De ce qui précède, la stratégie optimale de A est donc de tirer sur B : AB.
B, AB dans l’ordre BA impliquerait que p(B) = 0 et donc la stratégie de B ne serait pas optimale. En particulier dans la situation BAC, la meilleure stratégie pour B est : BA.
Regardons ce qui se passe lors c’est au tour de C de prendre une décision : CAB
CA : CAB(C) = (1/2)*BC(C) + (1/2)*ABC(C) = 1/18 + (1/2)*CA(C) = 1/18 + 1/4 = 11/36 C : CAB(C) = ABC(C) = CA(C) = 1/2 > 11/36.
CBA
CA : CBA(C) = (1/2)*BC(C) + (1/2)*BAC(C) = 1/18 + (1/2)*[(4/5)*CB(C) + (1/5)*ACB(C)] = 1/18 + 2/9 + (1/10)*CA(C) = 5/18 + 1/20 = 59/180
C : CAB(C) = BAC(C) = (4/5)*CB(C) + (1/5)*ACB(C) = 4/9 + (1/5)*CA(C) = 4/9 + 1/10
= 49/90 > 59/180
Donc la meilleure stratégie pour C est C.
Par conséquent dans la situation BCA, la meilleure stratégie pour B est donc BA.
Tout ce qui précède permet de calculer les probabilités de survie dans les différents triels.
ABC ACB CAB
BAC BCA CBA A 1/2 1/10 B 0 16/45 C 1/2 49/90
Lecture : BCA(B) = 16/45
D’où en considérant le tirage au sort comme étant équiprobable : p(A) = 3/10, p(B) = 8/45 et p(C) = 47/90.
Ainsi paradoxalement, C a les plus grandes chances de survie.
2/ Cette fois-ci A et B se sont entendus pour se liguer contre C, ainsi AC, BC, mais C ne le sachant pas (tout ceci est fait à son insu) devrait appliquer la stratégie C (à la rigueur le cas BCA où B le rate, peut sembler déroutant pour C s’il prend conscience que B n’applique pas la stratégie du 1/, et dans ce cas C pourrait adapter sa stratégie au profit de CA car il aurait ainsi une mince chance de s’en tirer : BCA(C) = (1/5)*CAB(C) = (1/5)*(1/2)*BC(C) = 1/90, mais ce calcul n’est pas tout à fait juste car c’est a posteriori en sachant que A va lui tirer dessus ; or C ne le sait justement pas a priori !)
D’où :
ABC ACB CAB
BAC BCA CBA A 1/5
21/25 B 4/5 4/25 C 0 0
Lecture : BCA(B) = 4/25
D’où p(A) = 13/25, p(B) = 12/25 et p(C) = 0.
Cette entente améliore donc les chances de survie de A et de B au détriment de C.
Autre solution avec description des arborescences (questions 1 et 3) Question n°1
L’arborescence ci-après contient toutes les branches correspondant aux « bonnes » stratégies de A,B et C. Elle exclut notamment la branche où C a obtenu la priorité et tire sur le meilleur tireur A. En effet, si C tire sur A ses chances de survie sont de 161/360 = 44.72..% à comparer à 47/90 = 52,22…% s’il tire en l’air laissant ainsi à A et B le soin d’en découdre. Cette
arborescence est également fondée sur l’hypothèse que A face à B et C tire toujours sur B qui est plus dangereux pour lui que C. De même B face à A et C tire toujours sur A.
Dès lors le calcul des chances de survie de chacun des trois protagonistes est simple. On identifie par les points rouges qui est survivant à l’issue des duels successifs et on mesure les probabilités de chacune des branches par la multiplication des probabilités attachées à chacun des arcs constitutifs de la branche. Une seule branche se poursuit jusqu’à l’infini. C’est celle où A ayant été tué par B, B et C se retrouvent face à face et chacun d’eux à son tour rate son tir.
On en déduit :
Pr{survie de A} = (1/2)*(1)*(1/2)*(1) +(1/2)*(2/10)*(1)*(1/2)*(1) = 3/10 = 30%
Pr{survie de B} =
(1/2)*(8/10)*(1/2)*[(8/10)+(2/10)*(1/2)*(8/10)+(2/10)*(1/2)*(2/10)*(1/2)*(8/10)+…] .
L’expression entre[ ] se ramène à (1/5)*
p) 1/(1
* (8/10) ..)
p ...
p p p (1
*
(8/10) 2 3 n avecp(2/10)*(1/2)1/10 Pr{survie de B} =(1/5)*(8/9)= 8/45 =17,77..%
Pr{survie de C} = 1 – 3/10 – 8/45 = 47/90 = 52,22..%
On constate que paradoxalement ce n’est pas le meilleur tireur qui a la plus de chances de survie. Ce dernier malgré son infaillibilité n’a que 30% de chance de survivre alors que le tireur C qui réussit ses tirs une fois sur deux a une probabilité supérieure à 1/2 de tirer son épingle du jeu.
Nota : si C avait obtenu la priorité de tir et avait tiré au 1er tour en visant A, les probabilités de survie des trois tireurs calculées selon la même méthode et toujours avec l’hypothèse que A (et B) se focalise (à tort !) sur B (et A) sont respectivement : Pr{survie de
A}=87/360=24,17..%, Pr{survie de B}=112/360=31,11..% et Pr{survie de
C}=161/360=44,72..%. Là encore c’est C qui a les plus grandes chances de sortir indemne et c’est A qui est dans la situation la plus délicate mais les écarts de pourcentage sont plus réduits que dans le scénario où C s’abstient de tirer.
Question n°3
Au vu des résultats de la première question, il est logique de considérer que A et B décident conjointement de constituer une coalition contre C. Deux hypothèses paraissent tout à fait plausibles :
- A et B décident en priorité d’éliminer C (sans bien entendu en informer C).
- quand la priorité de tir lui est accordée, C reste convaincu que la meilleure stratégie est de s’abstenir mais quand il s’aperçoit qu’il est devenu la cible privilégié de B et que ce dernier l’a raté, il décide cette fois-ci de tirer en visant A qui reste pour lui le tireur plus dangereux.
D’où la nouvelle arborescence :
Les probabilités de survie s’analysent comme suit :
Pr{survie de A} = (1/2)*(1)*(2/10)*(1)+(1/2)*(2/10)*[(1/2)*(2/10)*(1) + (1/4)*(1)*(2/10)*(1)] + (1/2)*(8/10)*(1) = 103/200 = 51,5%
Pr{survie de B} = (1/2)*(1)*(8/10) + (1/2)*(2/10)*[(1/2)*(8/10) + (1/4)*(8/9) + (1/4)*(1)*(8/10)] = 434/900 = 48,22… %
Pr{survie de C} = (1/2)*(2/10)*(1/4)*(1/9) = 1/360 = 0,277..%
On vérifie que la somme des trois probabilités est égale à 1. La hiérarchie est cette fois-ci respectée et C n’a pratiquement aucune chance de sortir indemne. A et B ont des probabilités de survie nettement supérieures à celles qui avaient été calculées précédemment et ont donc toutes les bonnes raisons pour adopter cette stratégie d’entente.
