PanaMaths Avril 2013 Résoudre :
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
4 6
7 8
3 5
9
x x x a
x x x
x x x c
b S
où a, b et c sont trois paramètres réels.
Analyse
La méthode du pivot de Gauss (cf. le coefficient de « x1 » dans la première équation) nous permet d’obtenir facilement la discussion sur a, b et c.
Résolution
On a :
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
1 2 3 1 1
2 3 2 2 1
2 3 3 3 1
1 2 3 1 1
2 3 2 2
2 3 3 1
2 3
4 5 6
7 8 9
2 3
3 6 4 4
6 12 7 7
2 3
4 1
2 3 3
7 1
2 6 6
x x x a L
S x x x b L
x x x c L
x x x a L L
x x b a L L L
x x c a L L L
x x x a L L
b a
x x L L
c a
x x L L
On a :
4 7
2 4 7 2 0
3 6
b a c a
b a c a a b c
On doit donc distinguer deux cas.
PanaMaths Avril 2013
1er cas : a2b c 0
On a donc 4 7
3 6
b a c a
et les deux dernières équations du système sont incompatibles.
L’ensemble
S
des solutions du système
S est donc vide.1er cas : a2b c 0 On a dans ce cas :
1 2 3 2 3 12 3 2 3
2 3 2 3
4 4
2 2
3 3
x x x a x x x a
S b a b a
x x x x
La résolution de ce système ne pose pas de difficultés particulières et on obtient facilement :
2 1
3 1
2 2
5 2
3
x x a b
a b x x
En définitive, on obtient une infinité de triplets solutions du système
S :1 1 1 1
5 2
; 2 2 ; /
3 a b
x x a b x x
S
Résultat final
Soit
S
l’ensemble des solutions du système
S :1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3
4 5 6
7 8 9
x x x a
x x x b
x x x c
Si a2b c 0,
S
. Si a2b c 0, 1 1 1 5 2 1
; 2 2 ; /
3 a b
x x a b x x