Résoudre : où a, b et c sont trois paramètres réels.

PanaMaths Avril 2013 Résoudre :

1 2 3

 

1 2 3

1 2 3

2

4 6

7 8

3 5

9

x x x a

x x x

x x x c

b S

 

  

  

 

 



où a, b et c sont trois paramètres réels.

Analyse

La méthode du pivot de Gauss (cf. le coefficient de « x₁ » dans la première équation) nous permet d’obtenir facilement la discussion sur a, b et c.

Résolution

On a :

   

   

   

     

     

   

   

   

1 2 3 1

1 2 3 2

1 2 3 3

1 2 3 1 1

2 3 2 2 1

2 3 3 3 1

1 2 3 1 1

2 3 2 2

2 3 3 1

2 3

4 5 6

7 8 9

2 3

3 6 4 4

6 12 7 7

2 3

4 1

2 3 3

7 1

2 6 6

x x x a L

S x x x b L

x x x c L

x x x a L L

x x b a L L L

x x c a L L L

x x x a L L

b a

x x L L

c a

x x L L

  

   

   



   



      

      



    

 

    

    

  

 On a :

 

4 7

2 4 7 2 0

3 6

b a c a

b a c a a b c

 

        

 

On doit donc distinguer deux cas.

PanaMaths Avril 2013

1^er cas : a2b c 0

On a donc ^{4 7}

3 6

b a c a

  et les deux dernières équations du système sont incompatibles.

L’ensemble

S

 

1^er cas : a2b c 0 On a dans ce cas :

 

2 3 2 3

2 3 2 3

4 4

2 2

3 3

x x x a x x x a

S b a b a

x x x x

      

 

 

       

La résolution de ce système ne pose pas de difficultés particulières et on obtient facilement :

2 1

3 1

2 2

5 2

3

x x a b

a b x x

   



   



En définitive, on obtient une infinité de triplets solutions du système

 

1 1 1 1

5 2

; 2 2 ; /

3 a b

x x a b x x

   

       

S

Résultat final

Soit

S

 

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3

4 5 6

7 8 9

x x x a

x x x b

x x x c

  

   

   



 Si a2b c 0,

S

 Si a2b c 0, _{1 1 1} 5 2 ₁

; 2 2 ; /

3 a b

x x a b x x

   

       

S