BCPST Systèmes linéaires
SYSTÈMES LINÉAIRES I – Généralités
Définition 1 : Soit (ai,j)1≤i≤n
1≤j≤p et (bi)1≤i≤ndes familles de réels (ou de complexes). Unsystème linéaire denéquations
àpinconnuesx1,x2, . . .,xpest un système de la forme :
a1,1x1 + a1,2x2 + . . . + a1,pxp = b1 a2,1x1 + a2,2x2 + . . . + a2,pxp = b2
... ... ... ... ...
an,1x1 + an,2x2 + . . . + an,pxp = bn
Résoudre un tel système consiste à trouver tous lesp-uplets (x1,x2, . . . ,xp) qui vérifient lesnéquations.
Définition 2 :
Deux systèmes linéaires denéquations àpinconnues sont ditséquivalentss’ils ont les mêmes solu- tions.
Un système linéaire est dit compatible s’il admet au moins une solution, il est incompatible s’il n’admet aucune solution.
Définition 3 :
On considère un système linéaire denéquations àpinconnues dont on noteL1,L2, . . .Lnles lignes.
On appelleopération élémentaireune opération qui consiste à :
1o) intervertir les lignesLietLj(aveci6=j), opération que l’on noteLi↔Lj; 2o) remplacer une ligneLiparλLi(avecλ6=0), opération que l’on noteLi←λLi; 3o) ajouter à une ligneLiune combinaison linéaire des autres, s’écrivantLi+
n
X
k=1 k6=i
λkLk(avecλk réel
ou complexe), opération que l’on noteLi←Li+
n
X
k=1 k6=i
λkLk.
Exemple 1 : L’opérationLi←λLi+µLj (avec j6=i) n’est pas à proprement parler une opération élémentaire, c’est un enchaînement de 2 opérations élémentaires (qu’on s’autorisera à noter en une seule étape), les opérations Li←λLisuivie deLi←Li+Lj: ceci n’est possible que siλ6=0.
Propriété 1 :
On considère un système de n équations à p inconnues.
En effectuant des opérations élémentaires sur un système, on obtient un système équivalent.
Exemple 2 :
x− y−2z=1
−2x+3y+4z=5 y−5z=2
II – Résolution par la méthode du pivot de Gauss
Il s’agit de parvenir à un système réduit (plus simple), qui soit équivalent au système de départ. Pour cela, on commence par éliminer une inconnue, par exemplex1dansn−1 équations : on choisit une équation contenant x1 dont le coefficientak,1 n’est pas nul (c’est lepivot, un pivot égal à 1 est l’idéal car il simplifie les opérations élémentaires). On place cette équation en 1ière position (par permutation deL1 etLk), puis on éliminex1 des équations restantes à l’aide d’opérations élémentaires qui s’appuient surL1, du typeLi←Li+λL1.
On répète ensuite cette opération pour éliminerx2(ou une autre inconnue parmi celles qui restent) den−2 équations, à l’aide d’un deuxièmepivot, etc... tant que cela est possible : on parvient à un système triangulaire
Page 1/2
BCPST Systèmes linéaires si le système admet une solution unique, et les solutions se calculent en partant de la dernière équation et en remontant jusqu’à la première. On peut également obtenir un système incompatible, ou parvenir à éliminer des équations redondantes. Une fois la méthode du pivot appliquée, en suivant les étapes précédentes, on parvient à un système ditéchelonné, de la forme suivante :
α1,1x1 + α1,2x2 + . . . + . . . + α1,pxp = β1
α2,2x2 + . . . + . . . + α2,pxp = β2
. .. ... ... ... ...
αr,rxr + . . . + αr,pxp = βr
0 = βr+1
... ...
0 = βn
où les réelsα1,1,α2,2, . . .,αr,rsont tous non nuls (ce sont les pivots). Quitte à changer l’ordre des inconnues, tout système ayant au moins un coefficient non nul peut se mettre sous la forme d’un système équivalent échelonné.
Si ce système est triangulaire (r=p), il y a une unique solution. Sinon, il pourra n’y avoir aucune solution, ou une infinité.
Exemple 3 : Résoudre le système :
− y+z+ t=1
−9x+2y+z+2t=2 x− y+z =3
−3x +z+ t=3 On doit trouverS =©
(−3,−7,−1,−5)ª .
Exemple 4 : Résoudre le système suivant, de paramètrem∈R:
2x− y+ z+ t=1 x+2y− z+ 4t=2 x+7y−4z+11t=m
On doit trouverS = ;sim6=5, etS =
½µ4 5−1
5z−6 5t,3
5+3 5z−7
5t,z,t
¶
, (z,t)∈R2
¾
sim=5.
III – Propriétés des systèmes
Définition 4 :
On appelle rang d’un système linéaire le nombre d’équations contenant au moins une incon- nue dans le système écrit sous forme échelonnée à l’aide de la méthode du pivot de Gauss, indépendamment du second membre.
Remarque : Le rang d’un système ne peut se prévoir avant d’avoir effectué la réduction par la méthode du pivot (sauf s’il était déjà réduit...). C’est aussi le nombre de pivots non nuls.
Exemple 5 : Retour à l’exemple précédent.
Nous avons constaté, lors de la mise en œuvre de la méthode du pivot, la propriété suivante : Propriété 2 :
Tout système linéaire possède zéro, une ou une infinité de solutions.
Remarque :
– On peut se convaincre de cette propriété en traduisant géométriquement les systèmes de 3 équations à 3 inconnues.
– Le rang du système permet d’obtenir le nombre de « degrés de liberté » des solutions. Pour un système compatible, sir est le rang du système et ple nombre d’inconnues, lorsquer <p on obtient une infinité de solutions où les inconnues s’expriment en fonction dep−r d’entre-elles (p−r « degrés de liberté »), et lorsquer=pon obtient une solution unique.
Page 2/2
