.E6914. Le jardinier et ses rosiers
Zig vient de planter un vaste massif de rosiers. Pour favoriser leur croissance, il s’apprête à leur apporter de l’engrais liquide(1).
Cas n°1** : il dispose de 8 bouteilles d’engrais et le fournisseur vient de l’informer peu de temps après son achat que deux d’entre elles sont mal dosées et qu’une seule goutte suffit à griller les feuilles des rosiers en 24 heures. Pour déceler les bouteilles défectueuses Zig décide de faire des tests avec un maximum de 4 rosiers qu’il a identifiés et qu’il est prêt à sacrifier. Peut-il en 48 heures identifier les deux bouteilles mal dosées ?
Cas n°2**** : même question que supra avec 12 bouteilles d’engrais dont deux mal dosées, toujours les tests réalisés sur 4 rosiers au maximum et un laps de temps de 3 jours pour identifier ces deux bouteilles.
(1) avec l’étiquette « bio », cela va de soi !!
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Solution
Cas A : 2 bouteilles dont 1 défectueuse ; 1 rosier disponible
On teste une des 2 bouteilles. On grille au plus 1 rosier. Si on en grille 1, la défectueuse est la bouteille testée, sinon c’est l’autre bouteille.
=> Le test prend 1 jour.
Cas B : 3 bouteilles dont 1 défectueuse ; 2 rosiers disponibles
On teste séparément 2 bouteilles. On grille au plus 1 rosier. Si on en grille 1, la défectueuse est la bouteille grillant le rosier ; si on n’en grille aucun, c’est la bouteille non testée.
=> Les deux tests prennent 2 jours s’ils sont faits l’un à la suite de l’autre.
Cas C : 3 bouteilles dont 2 défectueuses ; 2 rosiers disponibles
On teste séparément 2 bouteilles. On grille au plus 2 rosiers. Si on en grille 2, les défectueuses sont les bouteilles testées. Sinon, on en grille forcément 1 et l’une des défectueuses est la bouteille grillant le rosier et l’autre la bouteille non testée.
=> Les deux tests prennent 1 jour s’ils sont faits simultanément.
Cas n°1 : 8 bouteilles dont 2 défectueuses ; 4 rosiers disponibles Jour 1
On divise les bouteilles en 4 duos. Pour chacun on mélange une goutte des bouteilles du duo.
On teste chaque mélange sur un rosier différent.
Deux résultats seulement sont possibles, soit .a. et .b. :
.a. 1 rosier grillé ⇔ 1 duo de 2 défectueuses => 2 défectueuses identifiées.
.b. 2 rosiers grillés ⇔ 2 duos à 1 défectueuse chacun, reste 2 rosiers => 2 Cas A.
Jour 2 (si .b.)
On teste séparément les 2 Cas A => 2 défectueuses identifiées.
=> L’ensemble des tests prend au maximum 2 jours.
=> 4 rosiers suffisent.
CQFD
Cas n°2 : 12 bouteilles dont 2 défectueuses ; 4 rosiers disponibles
Jour 1
On divise les bouteilles en 4 trios. Pour chacun on mélange une goutte des bouteilles du trio.
On teste chaque mélange sur un rosier différent.
Deux résultats seulement sont possibles, soit .c. et .d. :
.c. 1 rosier grillé ⇔ 1 trio avec 2 défectueuses, reste 3 rosiers => Cas C + 1 rosier Jour 2(si .c.)
On teste le Cas C => 2 défectueuses identifiées.
.d. 2 rosiers grillés ⇔ 2 trios à 1 défectueuse chacun, reste 2 rosiers => 2 Cas B (?) Jour 2(si .d.)
On teste séparément 1 bouteille de chaque trio (comme dans le début de 2 Cas B).
Trois résultats seulement sont possibles, soit .e., .f. et .g. : .e. 2 rosiers grillés => 2 défectueuses identifiées.
.f. 1 rosier grillé : => 1ère défectueuse identifiée ; reste 1 duo et 1 rosier ⇔ Cas A.
Jour 3(si .f.)
On teste le Cas A => 2ème défectueuse identifiée.
.g. 0 rosier grillé => reste 2 duos et 2 rosiers ⇔2 Cas A.
Jour 3(si .g.)
On teste séparément les 2 Cas A => 2 défectueuses identifiées.
=> L’ensemble des tests prend au maximum 3 jours.
=> 4 rosiers suffisent.
CQFD
