Diophante – E6914 Le jardinier et ses rosiers Solution proposée par Margot PIERARD
Zig vient de planter un vaste massif de rosiers. Pour favoriser leur croissance, il s’apprête à leur apporter de l’engrais liquide.
Cas n°1** : il dispose de 8 bouteilles d’engrais et le fournisseur vient de l’informer peu de temps après son achat que deux d’entre elles sont mal dosées et qu’une seule goutte suffit à griller les feuilles des rosiers en 24 heures. Pour déceler les bouteilles défectueuses Zig décide de faire des tests avec un maximum de 4 rosiers qu’il a identifiés et qu’il est prêt à sacrifier. Peut-il en 48 heures identifier les deux bouteilles mal dosées ?
En 48 heures, Zig fera 2 tests qui lui permettront d’identifier les 2 bouteilles mal dosées. Lors du premier test, Zig prélève une goutte de chacune des 4 premières bouteilles testées. Il dépose ensuite la goutte de la bouteille 1 sur le rosier 1, puis la goutte de la bouteille 2 sur le rosier 2 et ainsi pour les 4 bouteilles.
⇒ Si deux rosiers meurent lors de ce test alors les bouteilles mal dosées sont celles d’où proviennent les gouttes.
⇒ Si aucun rosier ne meurt alors il faut refaire la même manipulation avec les 4 bouteilles non-testées restantes et on identifiera forcément les 2 bouteilles mal dosées parmi elles.
⇒ Si un rosier meurt alors l’une des bouteilles mal dosées est identifiée et il reste 3 rosiers vivants pour le deuxième test.
Lors du deuxième test, il faudra refaire la même manipulation mais seulement avec 3 bouteilles chacune sur 1 des 3 rosiers restants.
Si l’un des rosiers meurt alors la deuxième bouteille mal dosée est identifiée, sinon la bouteille mal dosée est celle qui n’a pas été testée du tout.
Cas n°2**** : même question que supra avec 12 bouteilles d’engrais dont deux mal dosées, toujours les tests réalisés sur 4 rosiers au maximum et un laps de temps de 3 jours pour identifier ces deux bouteilles.
En 72 heures, Zig fera 3 tests qui lui permettront d’identifier les 2 bouteilles mal dosées. Lors du premier test, Zig prélève une goutte de chacune des 4 premières bouteilles testées. Il dépose ensuite la goutte de la bouteille 1 sur le rosier 1, la goutte de la bouteille 2 sur le rosier 2 et ainsi pour les 4 bouteilles.
⇒ Si deux rosiers meurent lors de ce test alors les bouteilles mal dosées sont celles d’où proviennent les gouttes.
⇒ Si aucun rosier ne meurt alors il faut refaire la manipulation du cas n°1 qui permet de tester 8 bouteilles en 2 jours.
⇒ Si un rosier meurt alors l’une des bouteilles mal dosées est identifiée.
Lors du deuxième test, il faudra diviser les 8 bouteilles (non-testées) restantes en 3 groupes de 2 en laissant de côté 2 bouteilles qui ne seront pas testées dans l’immédiat. Dans chacun de ces 3 groupes, on mélangera les gouttes ensemble afin d’obtenir 3 échantillons. On déposera l’échantillon 1 sur le rosier 1, puis l’échantillon 2 sur le rosier 2 et l’échantillon 3 sur le rosier 3.
⇒ Si l’un des rosiers meurt alors la bouteille mal dosée est dans le groupe ayant tué le rosier.
⇒ Si aucun rosier ne meurt alors la bouteille mal dosée est dans 1 des 2 qui n’ont pas été testées.
Lors du troisième test, Zig peut identifier l’échantillon contenant la goutte de la bouteille mal dosée.
Il lui reste 2 ou 3 rosiers, il peut donc déposer une goutte de chaque bouteille sur leur rosier respectif.
La deuxième bouteille mal dosée est ainsi identifiée.
