Les spaghetti de Claudio
Problème G166 de Diophante
L’assiette de Claudio contient 60 spaghetti longs et fins de calibre n°5. Avant d’y ajouter « ajo, ojo e peperoncino », comme les spaghetti sont brûlants, Claudio décide de prendre au hasard les extrémités de deux spaghetti et de les nouer. Il continue le processus en prenant au hasard deux extrémités libres et en les nouant jusqu’à ce que son assiette ne contienne plus que des spaghetti en forme de cerceaux.
Quelle est l’espérance mathématique arrondie à l’entier le plus proche du nombre de cerceaux dans son assiette ?
Le petit-fils de Claudio demande à sa grand-mère de lui remplir son assiette avec le même type de spaghetti afin d'avoir deux fois plus de cerceaux que son grand- père. Ne risque-t-il pas d’être déçu par la réponse de sa grand-mère ?
Solution
Résolvons le cas général, en notant n le nombre initial de spaghetti.
Notons E(n) l’espérance mathématique du nombre de cerceaux et considérons les deux événements complémentaires :
U - le premier noeud crée un cerceau ; V - le premier noeud ne crée aucun cerceau.
Pour n = 1, il n'y aura qu'un seul cerceau : E(n) = 1.
Les probabilités de U et V valent 1/(2n-1) et (2n-2)/(2n-1), en supposant que les extrémités disponibles ont toutes la même probabilité 1/(2n-1) d'être choisies.
D'où : E(n) = (1+E(n-1))/(2n-1) + E(n-1)*(2n-2)/(2n-1) = 1/(2n-1) + E(n-1) Ainsi : E(n) = 1 + 1/3 + … + 1/(2n-1)
Pour n = 60, on a E(60) = 1 + 1/3 + 1/5 + ….. + 1/ 119 . Par tableur on trouve E(60) = 3,028962604
La première réponse est que (en moyenne) Claudio trouvera 3 cerceaux dans son assiette.
Pour que son petit-fils trouve (en moyenne) 6 cerceaux dans son assiette, il faudrait que sa grand-mère lui prépare plus de 22 800 spaghetti.
Ce nombre peut se trouver par tableur (22 846) ou en sachant que la somme, au rang n, de la série harmonique vaut asymptotiquement : ln(n) + gamma + o(1/n), où gamma est la constante d'Euler (gamma = 0,57721566490153 … ).
En estimant que 60 spaghetti pèsent environ100 g , alors ce serait près de 40 kg de spaghettis qu'il faudrait cuire, pour le minot. Ce que refuse la grand-mère !
Annexe S = ln (119) + gamma – R
R = 1/2 + 1/4 + 1/6 + … + 1/118 = ( ln (59) + gamma) / 2
S = ln (119) + gamma / 2 - ( ln (59) / 2 = 4, 7791234 + 0,288608 – 2,038769 S = 3,028962604 arrondi à 3.
Pour le double S = 6 que vaut N ? ln N + ln 2 + 0,288608 – ln N / 2 = 6
ln N = 2 *( 6 – ln 2 - 0,288608) = 10,0364896 D'où N = 22845, 047
