Corr  d’Alg M2 2012-13

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah

Année Univ.2012-13

Faculté des Sciences Dhar El Mehraz

SMP-SMC

Département de Mathématiques

Correction du contrôle d’Algèbre M2

durée: 1h30

1.b) Puisque−a1 − 2a2  a3 alors le systèmea1, a2, a3 est lié .

∀,  ∈ R : a1 a2  0, 0, 0  6, 7, 4  −2, −3, −2  0, 0, 0  6, 7, 4  −2, −3, −2  0, 0, 0  6 − 2, 7 − 3, 4 − 2  0, 0, 0  6 − 2  0 7 − 3  0 4 − 2  0    2 6 − 4  0 7 − 6  0      0

Alors le systèmea1, a2 est libre .

Donc : rga1, a2, a3  2

1.c) Puisquea1, a2 est un système libre de F et puique rga1, a2, a3  2

alorsa1, a2 est une base de F

2) 2.a) Puisque B  e1, e2, e3 de R3 alors : A  M f ,B 

6 −2 −2 7 −3 −1 4 −2 0 2.b) rg f rgA  rg6, 7, 4, −2, −3, −2, −2, −1, 0  rga1, a2, a3  2

2.c) 3  dimR3 _{ rg f  dim ker f  2  dim ker f  dim ker f  3 − 2  1}

3) 3.a) - 1ière méthode : detBB′  2 2 1 3 2 2 2 1 1  4  8  3 − 4 − 6 − 4  1 ≠ 0 Donc B′  e₁′, e2′, e3′  est une base de R3 .

- 2ième méthode : 2 2 1 3 2 2 2 1 1 L1,2 3 2 2 2 2 1 2 1 1 L1,2−1 1 0 1 2 2 1 2 1 1 L2,1−2 L3,1−2 1 0 1 0 2 −1 0 1 −1 L2,3 1 0 1 0 1 −1 0 2 −1 L3,2−2 1 0 1 0 1 −1 0 0 1 Alors : rgB′  rge₁′, e2′, e3′  rg 2 2 1 3 2 2 2 1 1  rg 1 0 1 0 1 −1 0 0 1  3 Donc B′  e1′, e2′, e3′  est une base de R3 .

- 3ième _{méthode :}

∀, ,  ∈ R :

e1′  e2′  e3′  0, 0, 0

 2, 3, 2  2, 2, 1  1, 2, 1  0, 0, 0  2, 3, 2  2, 2,   , 2,   0, 0, 0  2  2  , 3  2  2, 2      0, 0, 0  2  2    0 3  2  2  0 2      0    0 2    0 3  2  0    0   −2 3 − 4  0  −  0   0   −2        0

Alors le système B′  e₁′, e2′, e3′ est libre .

Puisque B′  e₁′, e2′, e3′ est un système libre de R3 qui contientt 3 vécteurs

et puisque dim R3 _{ 3 alors B}′ _{ e} 1 ′_{, e}

2 ′_{, e}

3

′ _{ est une base de R}3 _.

3.b) P 

2 2 1 3 2 2 2 1 1

3.c) - 1ière méthode : det P  2 2 1 3 2 2 2 1 1  4  8  3 − 4 − 6 − 4  1 Posons P  pi,j 1 ≤ i ≤ 3 1 ≤ j ≤ 3 Alors on a : Δ1,1  cofp1,1  2 2 1 1  0 , Δ1,2  cofp1,2  − 3 2 2 1  1 Δ1,3  cofp1,3  3 2 2 1  −1 , Δ2,1  cofp2,1  − 2 1 1 1  −1 Δ2,2  cofp2,2  2 1 2 1  0 , Δ2,3  cofp2,3  − 2 2 2 1  2 Δ3,1  cofp3,1  2 1 2 2  2 , Δ3,2  cofp3,2  − 2 1 3 2  −1 Δ3,3  cofp3,3  2 2 3 2  −2 Donc : P−1  1 det P t_{comP  1} 1 t 0 1 −1 −1 0 2 2 −1 −2  0 −1 2 1 0 −1 −1 2 −2 - 2ième _{méthode :} P|I3  2 2 1 3 2 2 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L1,2 3 2 2 2 2 1 2 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 L1,2−1 1 0 1 2 2 1 2 1 1 −1 1 0 1 0 0 0 0 1 L2,1−2 L3,1−2 1 0 1 0 2 −1 0 1 −1 −1 1 0 3 −2 0 2 −2 1 L2,3 1 0 1 0 1 −1 0 2 −1 −1 1 0 2 −2 1 3 −2 0 L3,2−2 1 0 1 0 1 −1 0 0 1 −1 1 0 2 −2 1 −1 2 −2 L1,3−1 L2,31 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 −1 2 1 0 −1 −1 2 −2  I3 0 −1 2 1 0 −1 −1 2 −2 Donc : P−1  0 −1 2 1 0 −1 −1 2 −2

4) A′  M f ,B′  P−1AP  0 −1 2 1 0 −1 −1 2 −2 6 −2 −2 7 −3 −1 4 −2 0 P  1 −1 1 2 0 −2 0 0 0 2 2 1 3 2 2 2 1 1  1 1 0 0 2 0 0 0 0

5) 5.a) Puisque la matrice de f par rapport à la base B′  e1′, e2′, e3′ de R3 est

A′  Mf,B′ 

1 1 0 0 2 0 0 0 0

alors : f e3′  0, 0, 0 . Donc : e3′ ∈ ker f

Alorse3′ est une base de ker f ( car : dimker f  1 et e3′ ≠ 0, 0, 0 )

Ce qui montre que : ker f  e3′ tq :  ∈ R  1,2,1 tq :  ∈ R

 , 2,  tq :  ∈ R 5.b) 6 −2 1 7 −3 2 4 −2 1  −18 − 16 − 14  12  14  24  2 5.c) i) detBa1, a2, e3′  6 −2 1 7 −3 2 4 −2 1  2 ≠ 0 Donca1, a2, e3′ est une base de R3 .

ii) ∀a ∈ F ∩ ker f : a ∈ F et a ∈ ker f

a ∈ F  ∃,  ∈ R tq : a  a1  a2 ( car :a1, a2 est une base de F )

a ∈ ker f  ∃ ∈ R tq : a  ,2,  1,2,1  e3′

Alors :a1 a2  e3′  a1  a2− e3′  0, 0, 0

     −  0 ( car : a1, a2, e3′ est une base de R3 )

   0  a  0, 0, 0 Donc : F∩ ker f  0, 0, 0

Ce qui montre que la somme est directe .

dimF ⊕ ker f  dimF  dimker f  2  1  3  dimR3  F ⊕ ker f  R3 Ce qui montre que F et ker f sont supplémentaires dans R3 .