Quelques applications de la diagonalisation

L2 Math´ematiques.

Math´ematiques: ALGEBRE LINEAIRE II Cours Elisabeth REMM

Chapitre 2

Quelques applications de la diagonalisation

1. Puissances d’une matrice diagonalisable

1.1. Puissance d’une matrice semblable. Soit M ∈ M_n(K) une matrice carr´ee `a coef- ficients dans K, K = R ou C. Une matrice M4 est semblable `a M s’il existe une matrice inversibleP d’ordren telle que

M⁰ =P⁻¹M P.

Proposition 1. Soit M ∈ Mn(K) une matrice carr´ee `a coefficients dans K, K =R ou C et M⁰ =P⁻¹M P une matrice semblable. On a alors

M^0p =M⁰ =P⁻¹M^pP pour tout entier p∈N.

D´emonstration. En effet, d´emontrons par r´ecurrence cette identit´e.

M⁰² =M⁰ =P⁻¹M P P⁻¹M P =M⁰ =P⁻¹M²P

car P P⁻¹ =In. Supposons que pour un entier donn´e p on aitM^0p =M⁰ =P⁻¹M^pP.Alors M^0p+1 =M⁰M^0p =P⁻¹M P P⁻¹M^pP =P⁻¹M M^pP =P⁻¹M^p+1P.

L’identit´e est encore vraie `a l’ordre p+ 1. Elle est donc vraie pour tout p.

1

1.2. Puissance d’une matrice diagonale. Soit

D=









λ₁ 0 0 · · · 0

0 λ₂ 0 · · · 0

· · · ·

0 0 0 · · · λ_n









une matrice diagonale. On a alors, pour tout entier p

D^p =









λ^p₁ 0 0 · · · 0

0 λ^p₂ 0 · · · 0

· · · ·

0 0 0 · · · λ^p_n









Ceci se d´emontre aussi par r´ecurrence surp.

1.3. Puissance d’une matrice diagonalisable. Soit M ∈ Mn(K) une matrice diagonalis- able. Il existe donc une matrice diagonaleD semblable `a M:

D=P⁻¹M P.

On en d´eduit

M =P DP⁻¹ et donc

M^p =P D^pP⁻¹

pour tout entier p ∈ N. Ainsi le calcul de toute puissance de M est assez ais´e d`es que cette matrice est diagonalisable et que la diagonalisation ne soit pas trop compliqu´ee.

2. Suites r´ecurrentes lin´eaires

2.1. D´efinition. Une suite (u_n)n≥0 de nombres r´eels est une suite r´ecurrente lin´eraire si elle v´erifie une relation de r´ecurrence du type suivant

(1) u_n+2 =αu_n+1+βu_n

pour toutn ≥0, o`uα etβ sont des nombres r´eels donn´es.

Le probl`eme qui nous int´dresse est celui de d´eterminer toutes les suites r´ecurrentes lin´eires v´erifiant, lorsque α etβ sont donn´es, la relation (1) ci-dessus.

Proposition 2. L’ensemble des solutions de (1) est un espace vectoriel surR de dimen- sion 2.

D´emonstration. Il est clair que la suite nulle un = 0 pour tout n est une suite v´erifiant (1).

Soient (u_n) et (v_n) deux suites r´eelles v´erifiant (1). On a donc u_n+2 =αu_n+1+βu_n

v_n+2 =αv_n+1+βv_n

et soienta, b∈R. Consid´erons la suite de terme g´en´oral aun+bvn. Elle v´erifie

au_n+2+bv_n+2 =a(alphau_n+1+βu_n) +b(αv_n+1+βv_n) =α(au_n+1+bv_n+1) +β(au_n) +bv_n).

Ainsi la suite (au_n+bv_n)n≥0) v´erifie aussi (1). On en d´eduit que l’ensemble des solutions est bien un espace vectoriel surR. Cherchons sa dimension. Remarquons, dans un premier temps, que toute suite u_n) v´erifiant (1) est enti`erements d´etermin´ee d`es que u₀ et u₁ sont donn´ees.

En effet, ceci permet de calculer u₂, puis avec u₁ et u₂ on calculer u₃ etc. Consid´erons alors l’application

ϕ:R² →E

o`u E d´esbigne l’espace vectoriel des solutions de (1), d´efinie par ϕ(a, b) est la suite r´eelle de E d´efinie paru₀ =a et u₁ =b. Cette application est lin´raire surjective. Elle est injective car son noyau correspond aux couples (a, b) donnant la solution nulle. Or si (u_n) est la suite nulle, alors u₀ =u₁ = 0 et donc a=b = 0. Ainsi ϕ est un isomorphisme lin´eaire. On en d´eduit que E est de dimension 2.

2.2. Etude matricielle. Dans le paragraphe pr´ec´edent, nous avons vu que pour trouver les so- lutions d’une suite r´ecurrente, il suffisait de trouver deux solutions particuli`eres ind´ependantes.

Nous allons proposer ici une ´etude matricielle.

La suite r´ecurrente v´erifie

u_n+1 =αu_n+βun−1. Consid´erons la suite (v_n) d´efinie, pour n ≥1 par

v_n =un−1. On obtient le syst`eme

u_n+1 =αu_n+βv_n v_n+1 =u_n.

que nous pouvons ´ecrire matriciellement sous la forme U_n+1 =M U_n o`u M est la matrice

M =

α β 1 0

et

U_n = u_n

v_n

. On en d´eduit

U₁ = u₁

u₀

et

Un+1 =MⁿU1.

On est donc conduit `a calculer M<sup>n</sup> ce que nous savons faire, d’apr`es le paragraphe pr´ec´edent, siM est diagonalisable.

3. Exponentielle d’une matrice diagonalisable 3.1. D´efinition de l’exponentielle d’une matrice carr´ee.

D´efinition 1. Soit M une matrice de M_n(K). On appelle Exponentielle de la matrice M la somme de la s´erie de puissances de M:

(2) expM =I_n+M + 1

2!M² + 1

3!M³+· · ·+ 1

p!M^p+· · ·

Cette d´efinition a bien un sens car la s´erie (2) est convergente, autrement dit si α^(p)_ij d´esigne les ´el´ements de la matrice somme partielle:

S_p =I_n+M + 1

2!M²+ 1

3!M³+· · ·+ 1 p!M^p,

les suites (α^(p_ij)p≥0 (i et j ´etant fixes etp tend vers l’infini) sont convergentes. En effet soit β tels que

|β| ≥α_ij, ∀i, j.

Alors

|α^(p)_ij | ≤1 +nβ + 1

2!n2β²+· · ·+ 1

p!n^pβ^p ≤e^nβ. On en d´eduit que expM existe quelle que soit la matrice carr´eeM. Exemples

(1) Soit 0_n la matrice nulle de M_n(K). Alors exp 0_n=I_n. (2) Soit I_n la matrice identit´e de M_n(K). Alors

expI_n =









e 0 0 · · · 0

0 e 0 · · · 0

· · · ·

0 0 0 · · · e









Th´eor`eme 1. (1) Soient M<sub>2</sub>, M<sub>2</sub> ∈ M<sub>n</sub>(K) deux matrices qui commutent, c’est-`a- dire qui v´erifient M₁M₂ =M₂M₁. Alors

exp(M₁+M₂) = expM₁expM₂. (2) Soit P ∈GL(n,K) une matrice inversible d’ordre n. Alors

exp(P⁻¹M P) = P⁻¹(expM)P.

D´emonstration. 1. Le terme g´en´eral de la s´erie exp(M₁ +M₂) est 1

p!(M₁ +M₂)^p. Avant de d´evelopper (M₁+M₂)^p, notons qu’en g´en´eral la formule du binˆome ne s’applique pas au calcul

matriciel. En effet, consid´erons le cas p= 2. On a

(M₁+M₂)² = (M₁+M₂)(M₁+M₂)

=M₁²+M₁M₂+M₂M₁+M₂²

et cette expression n’est simplifiable que si M₁M₂ =M₂M₁ et l’on comprend ici l’importance de l’hypoth`ese: les matrices M<sub>1</sub> etM<sub>2</sub> commutent. Sous cette hypoth`ese, on a alors:

(M1+M2)² =M₁²+M1M2+M2M1+M₂²

=M₁²+ 2M1M2+M₂²

et la formule du binˆome est donc valable dans ce cas. On montre donc, par r´ecurrence sur p que, sous l’hypoth`ese M₁M₂ =M₂M₁ on a:

(M₁ +M₂)^p =M₁^p+pM₁^p−1M₂ +· · ·+ p!

k!(p−k)!M₁^p−kM₂^k+· · ·+M₂^p.

Consid´erons `a pr´esent le produit expM<sub>1</sub>expM<sub>2</sub>. Calculons la partie homog`ene de degr´e p.

Elle est ´egale `a:

1

p!M₁^p + 1

(p−1)!M₁^p−1M2+· · ·+ 1

(p−k)!M₁^p−k1

k!M₂^k+· · ·+ 1 p!M₂^p. Or cette expression s’´ecrit aussi:

1

p!(M₁^p+ p!

(p−1)!M₁^p−1M₂+· · ·+ p!

(p−k)!k!M₁^p−kM₂^k+· · ·+M₂^p) soit

1

p!(M₁+M₂)^p. On en d´eduit donc que

expM₁expM₂ = exp(M₁+M₂).

2. Si M₂ =P⁻¹M P, alors, pour tout entierp on a M₂^p =P⁻¹M₁^pP.

Consid´erons la somme partielle S_p =I_n+M₂+· · · 1

p!M₂^p de la s´erie expM₂. On a alors S_p =I_n+M₂ +· · · 1

p!M₂^p

=I_n+P⁻¹M₁P +· · · 1

p!P⁻¹M₁^pP

=P⁻¹I_nP +P⁻¹M₁P +· · · 1

p!P⁻¹M₁^pP

=P⁻¹(I_n+M₁+· · · 1 p!M₁^p)P

=P⁻¹Σ_pP

o`u Σ<sub>p</sub> est la somme partielle de la s´erie expM<sub>1</sub>. On en d´eduit donc, par passage `a la limite que

expM₂ =P⁻¹(expM)P.

Corollaire 1. Quelle que soit la matrice M ∈ M_n(K), la matrice expM est inversible et

(expM)⁻¹ = exp(−M).

D´emonstration. En efet, il est ´evident que les matrices M et−M commutent. On en d´eduit exp(M−M) = exp(M) exp(−M).

Or

exp(M −M) = exp 0 =I_n. Ainsi

exp(M) exp(−M) = In

ce qui prouve le r´esultat annonc´e.

3.2. Exponentielle d’une matrice diagonale.

Proposition 3. Soit D la matrice diagonale D =









λ₁ 0 0 · · · 0

0 λ₂ 0 · · · 0

· · · ·

0 0 0 · · · λ_n







 .

Alors expD est la matrice diagonale expD=









e^λ1 0 0 · · · 0

0 e^λ2 0 · · · 0

· · · ·

0 0 0 · · · e^λn







 .

D´emonstration. En effet, nous avons vu que pour tout entier p, on a

D^p =









λ^p₁ 0 0 · · · 0

0 λ^p₂ 0 · · · 0

· · · ·

0 0 0 · · · λ^p_n







 .

On en d´eduit que chacune des sommes partielles de la s´erie expD est une matrice diagonale et donc expD est aussi diagonale. Calculons chacun des termes de sa diagonale. le i-`eme est

1 +λ_i+ 1

2!λ²_i +· · ·+ 1

p!λ^p_i +· · · qui correspond au d´eveloppement en s´erie de e^λλi. D’o`u le r´esultat.

3.3. Exponentielle d’une matrice diagonalisable.

Proposition 4. Soit M ∈ M_n(K) une matrice diagonalisable et soit D = P⁻¹M P une matrice diagonale semblable `a M. Alors

expM =P(expD)P⁻¹. D´emonstration. Soit

Σ_k =I_n+M +· · ·+ 1 k!M^k

la somme partielle de la s´erie expM. Comme D=P⁻¹M P, on a M =P DP⁻¹ et donc Σ_k =I_n+P DP⁻¹+· · ·+ 1

k!(P DP⁻¹)^k. Or on a vu que

(P DP⁻¹)^k =P D^kP⁻¹ ce qui donne

Σ_k =I_n+P DP⁻¹ +· · ·+ 1

k!P D^kP⁻¹ =P(I_n+D+· · ·+ 1

k!D^k)P⁻¹. On en d´eduit, par passage `a la limite

expM =P(In+D+· · ·+ 1

k!D^k+· · ·)P⁻¹ =P(expD)P⁻¹.

3.4. La fonction exptM. Fixons nous une matriceM ∈ M_n(R). Consid´erons la fonction t∈R→exptM

C’est une fonction d’une variable r´eelle `a valeurs dans l’espace vectoriel M<sub>n</sub>(R). Cet espace est de dimensionn<sup>2</sup> et peut donc ˆetre identifi´e `aRⁿ

2. Proposition 5. La fonction

t∈R→exptM.

de la variable r´eelle t est d´erivable et a pour d´eriv´ee d

dtexptM =M ·expT M.

D´emonstration. exptM est la somme de la s´erie X

p≥0

1 p!t^pM^p.

Cette s´erie est `a valeurs dans M<sub>n</sub>(R) mais est sur chacune des composantes (d’une matrice carr´ee) une s´erie enti`ere r´eelle. Chacune de ces composantes est donc ind´efiniment de fois

d´erivable. On a alors d

dt exptM =M +tM²+ ¹₂t²M +· · ·+pt^{p−1 1}_p!M^P +· · ·

=M(In+tM +¹₂t²M²+· · ·+_(p−1)!¹ t^p−1M^p−1+· · ·

=MexptM.

4. Syst`emes diff´erentiels lin´eaires `a coefficients constants 4.1. Cas homog`ene.

EXERCICES

Exercice 1. Soit la matrice

A=





0 1 1 1 0 1 1 1 0



 Calculer A^p et montrer que l’on a

A^p =a_pA+b_pI₃ a_p etb_p ´etant des constantes que l’on d´eterminera.

Exercice 2. Etudier la suite r´ecurrente lin´eaire

un+1 = 4un−un−1. Trouver la solution correspondant au₁ = 1 et u₀ = 0.

Exercice 3. Etudier les suites r´ecurrentes (u_n) et (v_n) d´efinies par les relations u_n=au_n−1+bv_n−1

v_n =cun−1+dvn−1

les termes initiaux u₀ etv₀ ´etant donn´es. Etudier le cas particulier a=d,b =−c.