ENDOMORPHISMES DIAGONALISABLES

ENDOMORPHISMES DIAGONALISABLES

E désigne un K espace vectoriel de dimension finie n∈N^*.

Le chapitre "éléments propres d'un endomorphisme" est supposé connu.

1) Résultats généraux

définition (endomorphisme diagonalisables)

Soit u un endomorphisme de E. On dit que u est diagonalisable s'il existe une base de E formée de vecteurs propres de u.

Dans ce cas, il existe une base e=(e₁,...,e_n) de E telle que mat(u;e)=diag(λ₁,...,λ_n) où les λ_i sont des éléments de K (pour tout i∈N_n, λ_i est la valeur propre associée au vecteur propre x_i).

théorème

Soit u un endomorphisme de E. Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) u est diagonalisable ;

(ii) E est somme directe des sous espaces propres de u ;

(iii) χ_u est scindé dans K[X] et pour toute valeur propre λ, on a dim(E_u(λ))=m, m étant l'ordre de multiplicité de λ.

démonstration

• (i)⇒(ii) :

Supposons u diagonalisable. Il existe une base e=(e₁,...,e_n) de E formée de vecteurs propres de u.

Notons Sp(u)=

{

λ₁,...,λp

}

, et ∀i∈N_p,q_i =dim(E_u(λ_i)).

Soit ( )

1 i u p

i

E

F =

⊕

₌ λ ^{. On a}

∑

=

= ^p

i

qi

F dim

1

)

( (voir chapitre "sommes et sommes directes de sous espaces vectoriels").

F e N k∈ _{n k}∈

∀ , et e est une famille libre de f donc n≤dim(F).

Or F⊂E donc dim(F)≤n. Par conséquent dim(F)=dim(E) donc F=E.

• (ii)⇒(i) :

Soient λ₁,...,λ_p les valeurs propres deux à deux distinctes de u. On suppose ( )

1 i u p

i

E E=

⊕

λ

=

.

p, N k∈

∀ notons q_k =dim(E_u(λ_k)).

Une base de E est obtenue en réunissant une base de E_u(λ₁), une base de E_u(λ₂),…,une base de )

( _p

Eu λ . e est donc une base de E formée de vecteurs propres de u et on a : )

,..., ,..., ,..., , ,..., ( )

;

(u e diag _{1 1 2 2 p p}

mat = λ λ λ λ λ λ , où pour tout i∈N_p, λ_i apparaît q_i fois.

• (ii)⇒(iii)

Soient λ₁,...,λ_p les valeurs propres deux à deux distinctes de u. On suppose ( )

1 i u p

i

E E=

⊕

λ

=

.

p, N k∈

∀ notons q_k =dim(E_u(λ_k)).

Pour k∈N_p, notons u_k l'endomorphisme de E_u(λ_k) induit par u (c'est-à-dire, )

( ) ( ),

( u x u x

E

x∈ _u λ_{k k} =

∀ ).

k k

q k u (X)=(λ −X)

χ , )mat(u_k;e)=diag(λ_k,...,λ_k où λ_k apparaît q_k fois, et

uk

χ divise χ_u. Les χuk sont premiers entre eux deux à deux donc

∏

= p χ

k u_k 1

divise χ_u.

Or, ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

= χ

=

= χ

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∏

χ

∑ ∑

=

=

=

n

n q

u

p

k k p

k

u p

k

u_{k k}

) deg(

) deg(

deg

1 1

1

donc

∏

=

χ α

= χ

∈ α

∃ ^p

k u

u _k

K

1

, .

Or, χ_u a pour coefficient dominant (−1)ⁿ et

∏

= p χ

k u_k 1

a pour coefficient dominant ⁿ

q

p

k k

) 1 ( )

1

( ∑¹ = −

− ⁼

donc α=1 et donc

∏

=

χ

=

χ ^p

k u

u _k

1

.

• (iii)⇒(ii)

On suppose que

∏

=

− λ

=

χ ^p

i

q i u

X i

X

1

) (

)

( , avec q_i =dim(E_u(λ_i)). On sait que n=deg(χ_u) (voir chapitre "éléments propres d'un endomorphisme").

∑

=

=

χ ^p

i i

u q

1

)

deg( donc

∑

=

= ^p

i

qi

n

1

.

Comme

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⊂ λ

=

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ λ

⊕

⊕ ∑

=

=

=

E E

n q E

dim

i u p

i

p

i i i

u p

i

) (

) (

1 1 1

, on a ( )

1 i u p

i

E E=

⊕

₌ λ ^.

théorème

Soit u un endomorphisme de E. Si χ_u admet n racines simples dans K, alors u est diagonalisable.

démonstration

Supposons que χ_u admet n racines simples dans K. Alors χ_u est scindé dans K[X]. χ_us'écrit donc j

i si X

X _{i j}

n

i i

u = λ − λ ≠λ ≠

χ

∏

=

, ) (

) (

1

.

On a donc ∀i∈N_n,1≤dim(E_u(λ_i))≤1. Donc E_{u i} E

n

i

⊂

⊕

λ

=

) (

1

, il en résulte que ( )

1 i u n

i

E E=

⊕

λ

=

. D'après le théorème précédent, u est diagonalisable.

définition

Soit )A∈M_n(K . A est diagonalisable si l'endomorphisme de Kⁿ canoniquement associé à A est diagonalisable.

théorème ) (K M

A∈ _n est diagonalisable si et seulement si il existe une matrice P∈GL_n(K) telle que P⁻¹AP soit diagonale.

démonstration

Soit u l'endomorphisme canoniquement associé à A. Soit P la matrice de passage de la base canonique e de Kⁿ à une base e' de Kⁿ formée de vecteurs propres de u. Alors mat(u;e')=P⁻¹AP et mat(u;e') est diagonale

Pratique de la diagonalisation

Soit u un endomorphisme de E, e une base de E et A=mat(u;e). 1) Calculer χ_A =χ_u, factoriser ce polynôme dans K[X].

2)

• si χ_u n'est pas scindé, u n'est pas diagonalisable

• si χ_u est scindé : on détermine les valeurs propres de u et une base de chaque sous espace propre de u

Si pour chaque valeur propre la dimension du sous espace propre associé est égale à l'ordre de la valeur propre, alors u est diagonalisable et une base de E formée de vecteurs propres de u est obtenue en réunissant les bases des sous espaces propres.

exemple :

Dans R, considérons la matrice

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

1 1 1

1 0 1

0 1 0

A et u l'endomorphisme de R³ canoniquement associé à A. Soit

X X

X

A X

−

−

−

= χ

1 1 1

1 1

0 1 )

(

X X X

X

−

− −

− +

−

= 1

) 1 1 1 ( 1

1 (développement suivant la dernière colonne) =−(−X −1)+(1−X)(X²−1)

=(X +1)+(1−X)(X −1)(X+1) =(X +1)[1−(X −1)²]

=(X +1)(1−X²+2X −1) = X(X+1)(2−X)

χA admet 3 racines réelles : 0, -1 et 2. D'après le dernier théorème énoncé, A est diagonalisable.

) ' ( )

( )

0

( Ker A vect e₁

E_u = = avec

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

= 1 0 1 '₁

e .

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

= +

=

−

2 1 1

1 1 1

0 1 1 )

( )

1

( Ker A I₃ Ker E_u

) ' ( )

1

( vect e₂

E_u − = , avec

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛−

= 0 1 1 '₂

e .

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

−

=

1 1 1

1 2 1

0 1 2 )

2 ( )

2

( Ker A I₃ Ker E_u

) ' ( )

2

( vect e₃

E_u = , avec

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

= 3 2 1 '₃

e .

) ' , ' , ' (

' e₁ e₂ e₃

e= est donc une base de E formée de vecteurs propres de u et

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

2 0 0

0 1 0

0 0 0 ) '

; (u e

mat .

Soit P la matrice de passage de e à e'.

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

=

3 0 1

2 1 0

1 1 1

P (voir chapitre "changement de bases en algèbre linéaire)

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

−

1 1 1

2 4 2

3 3 3 6

1 1

P et

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

−

2 0 0

0 1 0

0 0 0

1AP

P .

Réduction des endomorphismes symétriques ou hermitiens

Voir chapitres "endomorphismes symétriques" et "endomorphismes hermitiens"

2) Applications

1) Calcul de puissance d'une matrice

proposition

Soient )A,B∈M_n(K deux matrices semblables. Il existe donc P∈GL_n(K) tel que B=P⁻¹AP. Alors pour tout entier naturel q, B^q =P⁻¹A^qP.

démonstration Par récurrence sur q.

Notons P(q) :"si B=P⁻¹AP avec P∈GL_n(K), alors B^q =P⁻¹A^qP".

• q=0 :P⁻¹A⁰P=P⁻¹I₃P=I₃ et B⁰ =I₃ donc P(0) est vraie.

• Soit q∈N. Supposons P(q) vraie.

B B B^q+1 = ^q×

=(P⁻¹A^qP)×(P⁻¹AP) (hypothèse de récurrence) =P⁻¹A^q(PP⁻¹)P (associativité du produit matriciel) =P⁻¹(A^qA)P

=P⁻¹A^q+1P donc P(q+1) est vraie

• Donc pour tout entier naturel q, P(q) est vraie.

proposition

Soit )D∈M_n(K une matrice diagonale. ∃(α₁,...,α_n)∈Kⁿ tel que D=diag(α₁,...,α_n). Alors pour tout entier naturel q, D^q =diag(α₁^q,...,α^q_n).

démonstration

Par récurrence sur q.

Notons P(q) : "si D=diag(α₁,...,α_n)∈M_n(K), alors D^q =diag(α₁^q,...,α^q_n)".

• P(0) est vraie : D⁰ =I₃ =diag(α₁⁰,...,α⁰_n)

• Soit q un entier naturel. Supposons P(q) vraie.

D D D^q+1= ^q

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

α α

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

α α

=

n q

n q

%

%

1 1

=diag(α₁^q+1,...,α^q_n⁺¹) (utiliser la formule du produit matriciel) Donc P(q+1) est vraie

• donc pour out entier naturel q, P(q) est vraie.

conséquence des deux propositions précédentes

Si )A,D∈M_n(K sont deux matrices semblables et si D=diag(α₁,...,α_n) avec α_i∈K pour tout Nn

i∈ , il existe P∈GL_n(K) telle que A=P⁻¹DP. Alors pour tout entier naturel q, P

P A

q n q

q ×

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

α α

×

= ⁻ %

1

1 .

Exemple :

Reconsidérons la matrice

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

1 1 1

1 0 1

0 1 0

A (voir paragraphe précédent).

AP P

D= ⁻¹ avec D=diag(0,−1,2),

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

=

3 0 1

2 1 0

1 1 1

P et

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

− =

1 1 1

2 4 2

3 3 3 6

1 1

P .

Donc A=PDP⁻¹ (multiplication à gauche par P, à droite par P⁻¹)

, = ⁻1

∈

∀q N A^q PD^qP

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟ −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

=

1 1 1

2 4 2

3 3 3

2 0 0

0 ) 1 ( 0

0 0 0

3 0 1

2 1 0

1 1 1 6 1

n n

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

×

−

−

×

−

×

⎟ −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

=

n n

n

n n

n

2 2

2

) 1 ( 2 ) 1 ( 4 ) 1 ( 2

0 0

0

3 0 1

2 1 0

1 1 1 6 1

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

×

×

×

+

−

×

− +

−

× +

−

×

−

+

−

× +

−

× +

−

×

= ^{+ + +}

+

n n

n

n n n

n n

n

n n n

n n

n

2 3 2

3 2

3

2 ) 1 ( 2 2

) 1 ( 4 2 ) 1 ( 2

2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 4 2 ) 1 ( 2 6

1 1 1 1

1

2) Exponentielle de matrice

Rappel : Si A∈M_n(K), la série _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∑

^A_k!^k est convergente et on appelle exponentielle de A, notée eA, la matrice de M_n(K) définie par

∑

^+∞

=

=

1 !

k k A

k

e A (voir chapitre "algèbre des endomorphismes" et le chapitre "systèmes différentiels linéaires à coefficients constants, écriture matricielle et exponentielle de matrice").

Conséquence :

Soit )A∈M_n(K une matrice diagonalisable. Il existe une matrice diagonale D∈M_n(K), une matrice )P∈GL_n(K telles que D=P⁻¹AP.

, = ⁻1

∈

∀q N A^q PD^qP donc ¹

1 1

1

1 ! !

1

!

−

=

=

−

=

⎟⎟×

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

×⎛

=

=

∑ ∑

∑

^A_{k k} ^{PD P P q D}_k ^P

k k q

k

k q

k k

.

Or, _q ^A

q

k k

k e

A ⎯⎯ →_→⎯_+∞

∑

=

1 ! et _q ^D

q

k k

k e

D ⎯⎯ →_→⎯_+∞

∑

=

1 ! donc e^A =P×e^D×P⁻¹.

De plus, si D=diag(α₁,...,α_n) où α_i∈K pour tout i∈N_n, )e^D =diag(e^α1,...,e^αn En effet :

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛α α

=

∈

∀ ,..., !

!

, ! ¹

k diag k

k N D k

k n k k

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ α α

=

∈

∀

∑ ∑ ∑

= =

=

q

k

q

k k n q k

k k

k diag k

k N D q

1 1

1

1 ,..., !

!

, ! .

Faisant tendre q vers +∞ dans les deux membres de l'égalité, on obtient le résultat annoncé.

Exemple :

Reprenons la matrice

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

1 1 1

1 0 1

0 1 0

A .

−1

=Pe P e^{A D}

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

= ⁻

1 1 1

2 4 2

3 3 3

0 0

0 0

0 0 1

3 0 1

2 1 0

1 1 1 6 1

2 1

e e

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

= ^{− − −}

2 2 2

1 1

1 4 2

2

3 3

3

3 0 1

2 1 0

1 1 1 6 1

e e e

e e

e

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

+

−

− +

−

+

−

− +

−

+ +

−

−

− +

+

= ^{− − −}

−

−

−

2 2

2

2 1 2

1 2

1

2 1 2

1 2

1

3 3 3

3 3

3

2 2 2

4 2

2

2 3 4

3 2

3 6 1

e e

e

e e e

e e

e

e e e

e e

e

.

3) Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 Soient a,b∈K. Soit (u_n) la suite définie par :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

=

≥

∀

∈

∈

+

+ n n

n au bu

u n

K u

K u

1 2

1 0

, 2

Pour n∈N, on pose _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛ ⁺

n n

n u

X u ¹ . Alors X_n+1= AX_n, avec ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛ 0 1

b

A a . Notons e=(e₁,e₂) la base canonique de K².

X b X X a

A −

= − χ ( ) 1

=−X(a−X)−b =X²−aX −b

b a²+4

=

∆ .

On supposera dans cette leçon ∆≠0 (pour le cas où ∆=0, voir chapitre "trigonalisation des endomorphismes").

χA admet donc deux racines distinctes dans K donc A est diagonalisable.

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

α

− α

= − α

−

=

α) ( ) 1

( ₂ a b

Ker I

A Ker

E_A . On sait que ce sous espace vectoriel est de dimension 1.

On a E_A(α)=vect(e'₁), avec ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛α '₁ 1

e .

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

β

− β

= − β

−

=

β) ( ) 1

( ₂ a b

Ker I

A Ker

E_A . On sait que ce sous espace vectoriel est de dimension 1.

On a E_A(β)=vect(e'₂), avec ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛β '₂ 1

e .

Soit e'=(e'₁,e'₂). e' est une base de vecteurs propres de A. Soit P la matrice de passage de e à e'.

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛α β

= 1 1

P et ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

α

− β

− β

−

= α

−

1 1 1

P 1 . Soit ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ β

= α 0

D 0 . Alors D=P⁻¹AP.

, = ⁻1

∈

∀q N A^q PD^qP .

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

α

− β

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ β

⎟⎟ α

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛α β β

−

=α

1 1 0

0 1

1 1

q q

Aq

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

β α β

−

α β

−

⎟⎟ α

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛α β β

−

=α _{q q}

q q

1 1 1

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

β α + α β

− β

− α

β α + α β

− β

− α β

−

=α ⁺_{q q}^{+ +}_{q q}⁺

q q

q

q 1 1 1 1

1

On montre par une récurrence immédiate que : ∀n∈N, X_n+1=Aⁿ⁺¹X₀. On a donc :

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

β α + α β

− β

− α

β α + α β

− β

− α β

−

= α

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

0 1 1 1

1 1

2 2

2 2

1

2 1

u u u

u

n n

n n

n n

n n

n n

[

^{α −β + αβ −βα}

]

^×_α−β

= ^{+ + + +}

+

) 1 (

)

( ^{2 2} ₁ ^{2 2} ₀

2 u u

u_n ^{n n n n}

1 2 2 0

0 1 2

+ +

+ β

β

− α

− +α β α

− α

β

= − ^{n n}

n

u u u

u u

Donc : ∀n∈N, _n u u ⁿ u u ⁿ

u β

β

− α

− +α β α

− α

β

= ¹− ^{0 0 1} .

Pour le cas où ∆=0, voir chapitre "trigonalisation des endomorphismes"

4) Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants Voir chapitre du même nom.