Analyse IV pour Physiciens
Joachim STUBBE
31 janvier 2021
Résumé
Le thème central est l’intégrale de Lebesgue sur Rn et ses applications et le calcul intégral. Nous allons construire cette intégrale comme extension de l’inté- grale de Riemann pour des fonctions continues. On commence par une révision détaillée de l’intégrale de Riemann et quelques approfondissements sur les li- mites des fonctions et l’intégrale ainsi que des applications du calcul intégral dans quelques modèles de la physique. Ensuite on entre dans la construction de l’intégrale de Lebesgue en commençant par des intégrales de Riemann des fonctions continues à support compact et ses limites monotones pour généra- liser le concept des fonctions en escalier qui sont à la base de la construction de l’intégrale de Riemann. Cette famille de fonctions permettra la définition de l’intégrale de Lebesgue comme extension de l’intégrale de Riemann au sens du prolongement de l’intégrale de Riemann sur une classe de fonctions plus large.
Les théorèmes de convergences plus générales et plus maniables pour les suites des fonctions sont une première conséquence de cette approche ainsi que les résultats de densité des fonctions continues ou lisses dans l’ensemble des fonc- tions Lebesgue intégrables. Enfin l’intégrale de Lebesgue permet de définir des espaces de fonctions normés et complets (espaces de Banach) un outil indispen- sable dans beaucoup de modèles de physique comme la mécanique des milieux continus, la mécanique quantique te la théorie de champs. Parmi les méthodes classiques on présente les séries de Fourier at la transformation de Fourier.
Table des matières
1 Rappels : l’intégrale de Riemann 4
1.1 L’intégrale de Riemann sur un intervalle borné et fermé[a, b] . . 4
1.2 Propriétés de l’intégrale de Riemann . . . 7
1.3 La dérivée et l’intégrale . . . 8
1.3.1 Intégrale de fonctionsf : [a, b]→C . . . 9
1.4 Intégrales généralisées . . . 10
1.5 Techniques d’intégration . . . 15
1.5.1 Intégration par parties . . . 15
1.5.2 Changement de variable . . . 15
1.5.3 Calcul des intégrales par le théorème des résidus. . . 16
1.6 L’intégrale et processus de limite . . . 17
1.6.1 Un théorème de convergence monotone pour l’intégrale de Riemann . . . 20
2 Intégrales multiples : fonctions continues 22 2.1 Intégrales qui dépendent d’un paramètre . . . 22
2.2 Intégrales doubles des fonctions continues . . . 24
2.2.1 Intégrale double sur un rectangle fermé . . . 24
2.2.2 Changement de variable dansR2 . . . 29
2.2.3 Calcul des intégrales multiples . . . 30
2.3 Quelques applications en Physique . . . 31
2.3.1 Le théorème de Newton . . . 31
2.3.2 Les équations d’Euler-Lagrange . . . 32
2.3.3 Ensemble microcanonique et l’équation d’un gaz parfait . 34 3 Intégration dansRn et Applications 36 3.1 Intégrales de fonctions continues à support compact . . . 36
3.1.1 Intégrale d’une fonction continue à support compact. . . . 36
3.2 Approximation par des fonctionsC∞ . . . 38
3.2.1 Equation de la chaleur . . . 38
3.3 Intégrales des fonctions semi-continues . . . 42
3.3.1 Caractérisation deS↑ etS↓ . . . 43
3.3.2 Propriétés de l’intégrale surS↑ et S↓ . . . 44
3.4 Intégrale de Lebesgue. . . 45
3.4.1 Fonction Lebesgue intégrable . . . 45
3.4.2 Critères d’intégrabilité . . . 46
3.4.3 L’espaceL1(Rn) . . . 48
3.4.4 Ensembles intégrables, Ensembles négligeables . . . 48
2
3
3.4.5 L’espaceL1(Rn) . . . 50
3.5 Convergence . . . 51
4 L’espace Lp(Rn) etLp(Ω) 55 4.1 Les EspacesLp . . . 55
4.2 Espace de BanachLp(Rn) . . . 56
4.3 L’espaceL2(Rn) . . . 58
5 Espaces de Hilbert et Applications 60 5.1 Introduction . . . 60
5.2 Systèmes orthomormés et bases orthonormales . . . 60
5.3 L’espace dual et convergence faible . . . 63
5.4 Séries de Fourier . . . 64
5.4.1 Exemples de Série de Fourier . . . 65
5.4.2 Séries de Fourier sur un intervalle de longueurL . . . 66
5.5 Séries de Fourier et EDP . . . 67
5.5.1 Equation de la chaleur sur un intervalle borné . . . 67
5.5.2 Conditions aux bords . . . 68
5.5.3 Autres EDP sur des intervalles bornés . . . 70
5.6 La Transformée de Fourier . . . 71
5.6.1 La Transformée de Fourier surL1(Rn) . . . 71
5.6.2 La Transformée de Fourier surL1(Rn)∩L2(Rn) . . . 73
5.6.3 La Transformée de Fourier surL2(Rn) . . . 75
5.6.4 L2(I)et polynomes orthogonaux . . . 75
Chapitre 1
Quelques Rappels sur l’intégrale de Riemann
1.1 L’intégrale de Riemann sur un intervalle borné et fermé [a, b]
Ici on rapplle la construction de l’intégrale de Riemann sur un intervalle borné et fermé[a, b]. L’idée de base consiste à diviser l’intervalle dans des sous- intervalles petits et de définir des "hauteurs" maximales et minimales d’une fonction f sur ces sous-intervalles . Ensuite on prend la somme les aires des rectangles données par les sous-intervalles et les hauters def. Pour avoir toujours des hauteurs finies donc des rectangles des aires finies on considère uniquement des fonctionsf bornées. En choisissant ds sous-intervalles de plus en plus petits on définit l’intégrale def sur[a, b]si cette procedure de limite donne un résultat.
Subdivision d’un intervalle fermé. Soita < b. Le sous-ensemble ordonné et fini
σ={a0, . . . , an:a0=a < a1< . . . < an =b}
est appelé unesubdivisionou encore unepartitionde l’intervalle[a, b]. Le nombre P(σ) = max{ai−ai−1 : i = 1, . . . , n} est appelé le pas de la subdivision. En particulier, la subdivision
σ={a0, . . . , an:ak=a+kb−a n }
est appelé la subdivision régulière d’ordre nde[a, b]. En particulier, sin= 2m, m∈Net si on dénote les subdivisons régulières d’ordren= 2mparσmon a les inclusionsσm⊂σm+1 pour toutm.
Fonction indicatrice d’un sous-intervalle. Soit J un sous-intervalle de [a, b]et 1I sa fonction indicatrice :
1J(x) =
{ 1, six∈J;
0, six /∈J. (1.1)
4
CHAPITRE 1. RAPPELS : L’INTÉGRALE DE RIEMANN 5
On définit l’intégrale de1J(x)par
∫ b a
1J(x)dx:= supJ−infJ.
Fonction en escalier. Soitσune subdivision de[a, b]ety1, . . . , yn∈R. Soit, pour i= 1, . . . , n,gi : [ai−1, ai[→Rtels quegi(x) =yi pourx∈ [ai−1, ai[. La fonction ϕ : [a, b[→ R définie par ϕ(x) = ∑n
i=1gi(x) est appelée fonction en escalier. Toute combinaison linéaire de fonctions en escalier est une fonction en escalier.
Intégrale d’une fonction en escalier. Soitϕ une fonction en escalier. On définit l’intégrale deϕpar
∫ b a
ϕ(x)dx:=
∑n k=1
yk(ak−ak−1).
La deuxième étape consiste à étendre cette construction aux fonctions f : [a, b]→Rbornée.
Sommes de Riemann. Soit f : [a, b] → R une fonction bornée et σ une subdivision de[a, b]. On pose
mk= inf{f(x) :x∈]ak−1, ak[} Mk= sup{f(x) :x∈]ak−1, ak[} On appelle
Sσf =∑n
k=1mk(ak−ak−1) Sσf =∑n
k=1Mk(ak−ak−1)
la somme de Riemann1 inférieure, respectivement la somme de Riemann su- périeure, de la fonction f relativement à la subdivision σ. Evidemment, on a Sσf ≤Sσf.
Fonction (Riemann-) intégrable et l’intégrale. On pose Sf = sup
σ
Sσf, Sf = inf
σ Sσf
On aSf ≤Sf. Une fonction bornée sur[a, b]est dite (Riemann-) intégrable sur [a, b]siSf =Sf. Dans ce cas, on écrit
Sf =Sf=
∫ b a
f(x)dx.
Par convention : ∫ b a
f(x)dx=−
∫ a b
f(x)dx.
1. Bernhard Riemann, 1822 - 1866, un mathématcien allemand, a défini l’intégrale par cette méthode.
CHAPITRE 1. RAPPELS : L’INTÉGRALE DE RIEMANN 6
Théorème 1.1. - Critères d’intégrabilité
1. Une fonction bornée f : [a, b]→Rest (Riemann-) intégrable si et seule- ment si pour toutϵ >0 il existe une subdivisionσde[a, b] telle que
Sσf ≤Sσf +ϵ.
2. Si f : [a, b] → R est une fonction continue, alors f est (Riemann-) intégrable.
3. Sif : [a, b]→Rest une fonction monotone croissante (ou décroissante), alorsf est (Riemann-) intégrable.
Démonstration. 1. Par la définition deSσf, Sσf, la condition implique que 0≤Sσf−Sσf ≤ϵ
d’où l’affirmation.
2. Soitσune subdivision régulière d’ordren. Alors Sσf −Sσf =
∑n k=1
(Mk−mk)(b−a n )
Par la continuité def,f est uniformément continue sur l’intervalle fermé et borné[a, b]. Donc pour toutϵ >0, il existen∈Ntel que pour tout k compris entre1etn, on a Mk−mk≤ϵ. Alors
∑n k=1
(Mk−mk)(b−a
n )≤ϵ(b−a).
3. Soitσune subdivision régulière d’ordren. Sif est croissante, on amk= f(ak−1)et Mk =f(ak). Par conséquent
Sσf−Sσf =
∑n k=1
(Mk−mk)(ak−ak−1)
= (b−a
n )∑n
k=1
(f(ak)−f(ak−1))
= (b−a
n )
(f(b)−f(a))
Une fonction non-intégrable (au sens de Riemann). Soitf : [0,1]→R définie par
f(x) = {
0 six∈Q, 1 six∈R\Q.
Alors pour toute subdivisionσde[0,1]on aSσf = 0etSσf = 1.
CHAPITRE 1. RAPPELS : L’INTÉGRALE DE RIEMANN 7
1.2 Propriétés de l’intégrale de Riemann
Décomposition d’une fonction en partie positive et partie négative.
On définit la partie positive, respectivement la partie négative, d’une fonction f :Df →Rpar
f+(x) = max{f(x),0}=f(x)+2|f(x)| f+:Df→R+
f−(x) =−min{f(x),0}= |f(x)|−2f(x) f−:Df →R+
Evidemmentf(x) =f+(x)−f−(x)et|f(x)|=f+(x) +f−(x). Sif : [a, b]→R est bornée et intégrable, alorsf−, f+ sont intégrables.
Théorème 1.2. - Propriétés de l’intégrale de RiemannSoitf, g: [a, b]→ Rdeux fonctions intégrables. Alors
∫ b a
(αf(x)+βg(x))dx=α
∫ b a
f(x)dx+β
∫ b a
g(x)dx pour toutα, β∈R. (1.2) Si f(x)≤g(x)pour toutx∈[a, b], alors
∫ b a
f(x)dx≤
∫ b a
g(x)dx. (1.3)
En particulier,
∫ b a
f(x)dx ≤
∫ b a
|f(x)|dx. (1.4)
Pour tout c∈]a, b[
∫ b a
f(x)dx=
∫ c a
f(x)dx+
∫ b c
f(x)dx. (1.5)
Démonstration. On ne donne qu’un abrégé car la linéarité de l’intégrale est une conséquence de la linéarité de la dérivée si f, g sont continues grâce à l’exis- tence d’une primitive (voir ci-dessous). Dans le cas général des fonctions f, g intégrables il suffit de démontrer
∫ b a
(−f(x))dx=−
∫ b a
f(x)dx,
∫ b a
f(x) +g(x)dx=
∫ b a
f(x)dx+
∫ b a
g(x)dx.
La première affirmation est une conséquence deinf−f =−supf et sup−f =
−inff dans les sommes de Riemann. Pour la deuxième, on note que pour tout ϵ >0 on peut choisir une subdivision communeσtel que
Sσf +Sσg ≤Sσf+g≤Sσf+g≤Sσf+Sσg ≤Sσf+Sσg +ϵ
puisque inff+ infg ≤inff+g≤supf+g ≤supf+ supg dans les sommes.
Les trois dernières propriétés suivent directement des propriétés des sommes de Riemann.
CHAPITRE 1. RAPPELS : L’INTÉGRALE DE RIEMANN 8
Théorème 1.3. - Théorème de la valeur moyenne. Soitf, g : [a, b]→R deux fonctions continues et g≥0. Alors il existe (au moins) unc∈]a, b[tel que
∫ b a
f(x)g(x)dx=f(c)
∫ b a
g(x)dx En particulier, si g= 1:
∫ b a
f(x)dx=f(c)(b−a).
Démonstration. On pose m := min
x∈[a,b]
f(x), M := max
x∈[a,b]
f(x). Alors m g(x) ≤ f(x)g(x)≤M g(x)sur[a, b]et par la monotonie de l’intégrale
m
∫ b a
g(x)dx≤
∫ b a
f(x)g(x)dx≤M
∫ b a
g(x)dx.
Si
∫ b a
g(x)dx= 0, alors
∫ b a
f(x)g(x)dx= 0et l’affirmation est vraie pour tout c∈]a, b[. Si
∫ b a
g(x)dx >0, alors
m≤
∫b
af(x)g(x)dx
∫b
a g(x)dx ≤M
et l’affirmation est une conséquence du théorème de la valeur intermédiaire pour la fonction continuef.
1.3 La dérivée et l’intégrale
Primitives. Soitf : [a, b]→Rune fonction intégrable. Une fonction continue F : [a, b]→Rest appelée une primitive defsi pour toutx∈]a, b[:F′(x) =f(x).
Si Gest une autre primitive de f, alorsF−Gest constante.
Existence des primitives pour des fonctions continues et l’intégrale indéfinie. Soitf : [a, b]→Rcontinue. Alors la fonctionF : [a, b]→Rdéfinie par l’intégrale indéfinie
F(x) =
∫ x a
f(t)dt
est une primitive def. En fait, pour toutx, x+h∈[a, b],h̸= 0il existe par le théorème de la valeur moyenne 1.3 unc=ch entrexet x+htel que
F(x+h)−F(x)
h = 1
h
∫ x+h x
f(t)dt=f(ch) et lim
h→0f(ch) =f(x) d’où l’affirmation. Il en suit le théorème fondamental du calcul intégral :
Théorème 1.4. - Théorème fondamental du calcul intégral. Soit f : [a, b] → R continue. Alors si F : [a, b] → R est une primitive de f, on peut
écrire ∫ b
a
f(x)dx=F(b)−F(a)
CHAPITRE 1. RAPPELS : L’INTÉGRALE DE RIEMANN 9
Remarque. On écrit souventF(x)b
a à la place de F(b)−F(a).
Remarque. Pour l’intégrale indéfinie on trouve dans les tables la notation
∫
f(x)dx=F(x) ou
∫
f(x)dx=F(x)+C ou encore
∫ x
f(t)dt=F(x).
Exemples. Par le théorème fondamental du calcul intégral, une méthode simple pour déterminer les primitives consiste à calculer les dérivées des fonc- tions connues. Par exemple,
1. ∫
xpdx= xp+1
p+ 1 sip̸=−1et x >0.
2. ∫
1
xdx= ln|x| x̸= 0
3. ∫
sinx dx=−cosx,
∫
cosx dx= sinx 4. Soitf : [a, b]→Rde classeC1et f >0. Alors
∫ f′(x)
f(x) dx= lnf(x)
et ∫
f′(x)f(x)pdx= f(x)p+1
p+ 1 sip̸=−1.
1.3.1 Intégrale de fonctions f : [a, b] → C
On peut facilement étendre le calcul intégrale et ses techniques aux fonctions f : [a, b]→C(mais pas aux fonctionsf :C→C!).
Fonction intégrable. Une fonctionf : [a, b]→ C, f(x) = u(x) +iv(x), est intégrable si u, v,: [a, b]→Rsont bornés et intégrables. On définit
∫ b a
f(x)dx:=
∫ b a
u(x)dx+i
∫ b a
v(x)dx. (1.6)
Si u, v sont des fonctions continues, elles admettent des primitives U, V et on définit F(x) :=U(x) +iV(x). On a F′(x) =f(x)et
∫ b a
f(x)dx=F(b)−F(a) =U(b)−U(a) +i(V(b)−V(a)). (1.7) Exemple. Si f : [a, b] → C est donné par f(x) = eipx = cospx+isinpx, p∈R,p̸= 0, alorsF(x) =eipx
ip = sinpx
p −icospx p et
∫ b a
eipxdx= eipb−eipa ip .
CHAPITRE 1. RAPPELS : L’INTÉGRALE DE RIEMANN 10
1.4 Intégrales généralisées
Introduction. Nous avons défini l’intégrale pour un sous-ensemble de fonc- tionsf : [a, b]→Rbornées dites intégrables.
Définition - cas simplifié. SoitI un intervalle eta= infI < b= supI. Soit f : I → R une fonction bornée et intégrable sur tout intervalle [c, d] ⊂ I où a < c < d < b. On dit quef est intégrable surIsi et seulement si pour un point p∈]a, b[les limites
xlim→a+
∫ p x
f(t)dt et lim
x→b−
∫ x p
f(t)dt
existent. Dans ce cas, on définit l’intégrale généralisée def surIpar
∫ b a
f(t)dt= lim
x→a+
∫ p x
f(t)dt+ lim
x→b−
∫ x p
f(t)dt
= lim
ϵ→0+ lim
η→0+
∫ b−η a+ϵ
f(t)dt
(1.8)
On dit que l’intégrale généralisée de f sur I est absolument convergente si l’intégrale généralisée de |f| sur I existe. Dans ce cas, l’intégrale généralisée de f sur I est convergente (comme c’est le cas pour les séries). Comme pour les séries absolument convergentes, on peut formuler un critère de comparaison pour des intégrales absolument convergentes.
Définition - Intégrale généralisée sur R. Soit lim
x→xk|f(x)| = ∞, k = 0, . . . , n,x0< x1< . . . < xn, etf :R−→Rtel quef est (Riemann-) intégrable sur tout sous-intervalle borné de−∞, x0[,]xk, xk+1[,]xn,∞[on définit :
∫ ∞
−∞
f(x)dx= lim
R−→−∞ lim
R+→∞ lim
ϵk→0+
. . . lim
ηk→0+
( ∫ x0−η0 R−
f(x)dx+
∫ x1−η1 x0+ϵ0
f(x)dx+. . .+
∫ R+ xn+ϵn
f(x)dx )
. (1.9) Critères de comparaison. Soit f, g : I → R intégrables sur I telles que 0≤ |f|(x)≤ |g|(x). Alors
∫
I
|g(t)|dt <+∞ ⇒
∫
I
|f(t)|dt <+∞ (1.10)
∫
I
|f(t)|dt= +∞ ⇒
∫
I
|g(t)|dt= +∞. (1.11)
Application : convergence absolue implique convergence. Soit f, g : I→Rintégrables surItelles que0≤ |f|(x)≤g(x). Alors l’intégrale généralisée def surI est absolument convergente et
−∞<−
∫
I
g(t)dt≤ −
∫
I
|f(t)|dt≤
∫
I
f(t)dt≤
∫
I
|f(t)|dt≤
∫
I
g(t)dt <+∞
CHAPITRE 1. RAPPELS : L’INTÉGRALE DE RIEMANN 11
Valeur principale. Une extension de l’intégrale généralisée est la valuer prin- cipale de l’intégrale en prenant le cas particulier =R− =R+ et ϵk =ηk dans (1.9). Voir l’Analyse 3.
Exemples.
1.
∫ ∞
0
sinx
x1+pdx est absolument convergente pour tout 0 < p < 1 puisque
∫ b 0
sinx
x1+pdx est absolument convergente pour tout p < 1, b > 0 et
∫ ∞
b
sinx
x1+pdxest absolument convergente pour tout0< p,b >0.
Preuve : pour touts, t∈]0, b[,s < tet p <1 :
∫ t s
sinx x1+pdx≤
∫ t s
1
xpdx=t1−p−s1−p 1−p
De plus, ∫ ∞
b
sinx x1+pdx≤
∫ ∞
b
1
x1+pdx= 1 pbp. 2.
∫ ∞
0
sint
t dt est convergente mais pas absolument convergente. La fonc- tion sint
t est continue et bornée sur tout intervalle]0, b[donc il suffit de
considérer ∫ ∞
b
sint
t dt, b >0.
Par une intégration par parties,
∫ ∞
b
sint
t dt= −cost t
∞
b
−
∫ ∞
b
cost t2 dt
d’où la convergence selon l’exemple (1). Pour démontrer que l’intégrale ne converge pas absolument, on minore|sinx|comme suit : pourx∈[0, π],
sinx≥g(x) :=
0, si0≤x < π/4; sinπ/4, siπ/4≤x <3π/4; 0, si3π/4≤x≤π.
CHAPITRE 1. RAPPELS : L’INTÉGRALE DE RIEMANN 12
La fonction |sinx| est périodique de période π et on applique la même borne sur chaque période. Il en suit pour tout entier positifn
∫ n 0
|sint|
t dt≥sinπ 4
n−1
∑
k=0
∫ 3π
4+πk
π 4+πk
1 t dt
≥sinπ 4
n−1
∑
k=0
∫ 3π4+πk
π 4+πk
1
3π
4 +πkdt
= sinπ 4
n−1
∑
k=0
π 2
1
3π 4 +πk. Cette expression diverge lorsquen→ ∞.
3. On considère les fonctionsfn[0,∞[→R,nun entier positif, définies par fn(x) =n(1−2n|x−n|)χ[n−2−n,n+2−n](x).
On définit
f(x) :=
∑∞ n=0
fn(x).
La fonction f est non-négative, continue, non-bornée et intégrable sur [0,∞[.
CHAPITRE 1. RAPPELS : L’INTÉGRALE DE RIEMANN 13
L’aire des triangles est n2−n. Alternativement, on peut écrire lesfn comme suit :
fn(x) =n2n−1(|x−n−2−n|+|x−n+ 2−n| −2|x−n|).
La primitive F(x)tel queF(0) = 0existe etF est une fonction nonné- gative, croissante, bornée et dérivable. En particulier,
F(x)≤
∑∞ n=0
n2−n= 2
et ∫ ∞
0
f(t)dt= 2.
CHAPITRE 1. RAPPELS : L’INTÉGRALE DE RIEMANN 14
La primitiveF(x) =
∫ x 0
f(t)dt.
CHAPITRE 1. RAPPELS : L’INTÉGRALE DE RIEMANN 15
1.5 Techniques d’intégration
Introduction. Les règles essentielles du calcul intégral sont une conséquence du théorème fondamental du calcul intégral et des règles établies pour le calcul différentiel.
1.5.1 Intégration par parties
L’intégration par parties est une conséquence de la règle de dérivation d’un produit de deux fonctions.
Intégration par parties. SoitIun intervalle ouvert,a, b∈Ietf, g: [a, b]→ Rdeux fonctions de classeC1. Alors
∫ b a
f(x)g′(x)dx=f(x)g(x)b
a−
∫ b a
f′(x)g(x)dx.
avec f(x)g(x)b
a =f(b)g(b)−f(a)g(a)où en cas d’une intégrale généralisée le terme f(x)g(x)b
a est donné par f(x)g(x)
b
a
= lim
x→b−f(x)g(x)− lim
x→a+f(x)g(x).
Application - développement limité et formule de Taylor. SoitI un intervalle ouvert, a∈I et f : I →Rune fonction de classeCn+1. Alors pour tout x∈I :
f(x) =
∑n k=0
f(k)(a)
k! (x−a)k+ 1 n!
∫ x a
(x−t)nf(n+1)(t)dt c’est-à-dire le reste de Taylor est explicitement donné par
Rn(x) = 1 n!
∫ x a
(x−t)nf(n+1)(t)dt
1.5.2 Changement de variable
La règle du changement de variable (aussi dite règle de substitution) est une conséquence de la dérivée d’une fonction composée.
Une application de la règle de composition aux primitives. Soita < b et f : [a, b]→Rune fonction continue. SoitI un intervalle ouvert, etg, h:I→ [a, b]deux fonctions de classe C1. Alors la fonctionK:I→Rdéfinie par
K(x) =
∫ h(x) g(x)
f(t)dt est de classeC1 et pour toutx∈I :
K′(x) =f(h(x))h′(x)−f(g(x))g′(x)
puisque f admet une primitive F et par le théorème fondamental du calcul intégral K(x) = F(h(x))−F(g(x)). Il en suit la formule du changement de variable.
CHAPITRE 1. RAPPELS : L’INTÉGRALE DE RIEMANN 16
Changement de variable. Soita < betf : [a, b]→Rune fonction continue.
SoitI un intervalle ouvert,α, β∈I,α < β et ϕ:I→Rune fonction de classe C1 telle queϕ([α, β])⊂[a, b]. Alors
∫ ϕ(β) ϕ(α)
f(x)dx=
∫ β α
f(ϕ(t))ϕ′(t)dt La transformationx=ϕ(t)est appelée changement de variable.
Remarque. Intuitivement, on écrit dx=dx
dtdt.
Exemples.
1. ∫ ∞
0
te−tdt=−te−t ∞
0
+
∫ ∞
0
e−tdt=−te−t−e−t ∞
0
= 1 2. Par le changement de variables=t2 (i.e.t=√
s), on trouve
∫ ∞
0
t3e−t2dt= 1 2
∫ ∞
0
se−sds=1 2
3. Par le changement de variables=e−t(i.e.t=−lns), on trouve
∫ ∞
0
e−t
1 + 2e−t+e−2tdt=
∫ 0 1
s
1 + 2s+s2(−1 s)ds
=
∫ 1 0
1 (1 +s)2 ds
=− 1 1 +s
1
0
= 1 2 4. Soitf une fonction intégrable surR. Pour touta∈R
∫ ∞
−∞
f(x+a)dx=
∫ ∞
−∞
f(x)dx (invariance sous translation) et∫ ∞
−∞|a|f(ax)dx=
∫ ∞
−∞
f(x)dx (invariance sous dilatation,a̸= 0).
La dernière propriété est vérifiée pour des intégrales généralisées∫∞
0 et
∫0
−∞ sia >0. Par exemple,
∫ ∞
0
e−atdt=1 a
∫ ∞
0
e−sds= 1 a.
1.5.3 Calcul des intégrales par le théorème des résidus.
C’est une technique sans utiliser les primitives par le prolongement holo- morphe de l’intégrande sur un ouvert du plan complexe. Voir l’analyse 3.
CHAPITRE 1. RAPPELS : L’INTÉGRALE DE RIEMANN 17
1.6 L’intégrale et processus de limite
SoitI un intervalle et (fn)n une suite de fonctions (Riemann-) intégrables fn:I→Rtelle que(fn)n converge ponctuellement versf :I→R. En général, on a
nlim→∞
∫
I
fn(x)dx̸=
∫
I
nlim→∞fn(x)dx comme le démontrent les exemples suivants.
Exemple 1. On considère les fonctions continuesfn: [0,1]→Rdonnées par fn(x) =
{ ansinnπx, si0≤x≤ 1n 0, si n1 < x≤1 oùnest un entier positif et(an)nune suite de réels. Alors lim
n→∞fn(x) =f(x) = 0 en toutx∈]0,1]et ∫ 1
0
f(x)dx= lim
ϵ→0+
∫ 1 ϵ
0dx= 0.
D’autre part,
∫ 1 0
fn(x)dx=
∫ n1
0
ansinnπx dx= an
nπ
∫ π 0
sint dt= an
nπ.
Si nπan ne converge pas vers0, on ne peut pas permuter la limite et l’intégrale.
Exemple 2. Soit{rn :n∈N}l’ensemble des rationnels dans[0,1]. On consi- dère la suite des fonctions continuesfn : [0,1]→Rdonnées par
fn(x) =
{ 1, six∈ {r0, r1, . . . rn}; 0, six /∈ {r0, r1, . . . rn}. Alors
∫ 1 0
fn(x)dx= 0 pour toutn, d’où
nlim→∞
∫ 1 0
fn(x)dx= 0.
En revanche, la limite simple f(x) = lim
n→∞fn(x) = χQ(x)χ[0,1](x) (la fonction indicatrice des rationnels dans[0,1]n’est pas intégrable).
Convergence uniforme. Le dernier exemple indique que la limite simple n’est pas forcément intégrable. C’est pourquoi il faut souvent supposer que la fonction limite soit intégrable. Cet inconvenance n’existe pas si la convergence est uniforme et, de plus, on peut commuter la limite avec l’intégrale.
Théorème 1.5. Soit(fn)n une suite de fonctions dansC0([a, b]) qui converge uniformément vers une fonctionf. Alorsf est (Riemann-) intégrable (car conti- nue) et
nlim→∞
∫ b a
fn(x)dx=
∫ b a
nlim→∞fn(x)dx
CHAPITRE 1. RAPPELS : L’INTÉGRALE DE RIEMANN 18
Démonstration. C’est une conséquence des inégalités ∫ b
a
f(x)dx−
∫ b a
fn(x)dx ≤
∫ b a
|f(x)−fn(x)|dx≤
∫ b a
||f(x)−fn(x)||0dx.
La démonstration indique que la convergence uniforme suffit en général si la limite uniforme est (Riemann-) intégrable :
Corollaire 1.6. Soit(fn)n une suite de fonctions (Riemann-) intégrables sur [a, b] qui converge uniformément vers une fonction (Riemann-) intégrable f. Alors
nlim→∞
∫ b a
fn(x)dx=
∫ b a
nlim→∞fn(x)dx Exemple 1 - bis. Si lim
n→∞an = 0, alors la convergence est uniforme (la limite est la fonction0sur[0,1]).
Extension du Corollaire. La convergence uniforme ne préserve non seule- ment la propriété de continuité, elle préserve également la propriété de l’inté- grabilité (au sens de Riemann) sur des intervalles bornés et fermés.
Théorème 1.7. Soit (fn)n une suite de fonctions (Riemann-) intégrables sur [a, b] qui converge uniformément vers une fonctionf. Alors f est (Riemann-) intégrable et
nlim→∞
∫ b a
fn(x)dx=
∫ b a
nlim→∞fn(x)dx
Démonstration. Par l’hypothèse les fn sont bornés. On montre d’abord que la limite uniforme f est bornée aussi. Notons que la suite (fn)n est de Cauchy.
Donc il existe M ∈ N tel que pour tout m, n ≥ M : ||fm−fn||0 < 1. Par conséquent, pour toutn≥M : ||fn||0<||fM||0+ 1et le fait que
nlim→∞||fn||0=||f||0
implique quef est borné sur[a, b]. Pour montrer quefest (Riemann-) intégrable soit ϵ >0arbitraire. Il existe un entier naturelN tel que ||f−fN||0< ϵ. Donc pour toutx∈[a, b]:
fN(x)−ϵ < f(x)< fN(x) +ϵ.
Il en suit que pour tout sous-intervalle I⊂[a, b]: inf
x∈IfN −ϵ≤inf
x∈If ≤sup
x∈I
f ≤sup
x∈I
fN +ϵ.
La fonction fN est (Riemann-) intégrable, il existe alors une subdivisionσ de [a, b]tel queSσfN ≤SσfN+ϵ. Par les inégalités sur tout sous-intervalleI⊂[a, b]:
SσfN −ϵ(b−a)≤Sσf ≤Sσf ≤SσfN+ϵ(b−a).
CHAPITRE 1. RAPPELS : L’INTÉGRALE DE RIEMANN 19
Il en suit :
Sσf−Sσf ≤Sσf
N −Sσf
N+ 2ϵ(b−a)≤ϵ(2(b−a) + 1)
d’oùf est (Riemann-) intégrable. La commutativité de la limite et de l’intégrale suit comme dans le théorème ci-dessus.
Dérivation et intégration des séries. Une conséquence du théorème 1.5 est le résultat suivant :
Théorème 1.8. Soit (fn)n une suite de fonctions dans C1([a, b]) telle que la suite (fn′)n converge uniformement vers une fonction g. De plus, il existe x0 ∈ [a, b] tel que la suite (fn(x0))n converge. Alors la suite (fn)n converge uniformement vers une fonctionf ∈C1([a, b])avec f′=g.
Démonstration. Pour toutnil existecn tel que fn(x) =
∫ x a
fn′(x)dx+cn
pour tout x∈ [a, b]. La convergence ponctuelle de fn en x0 et la convergence uniforme defn′ impliquent que la suite(cn)n converge : lim
n→∞cn =c. Par consé- quent, pour tout x∈[a, b] :
f(x) =
∫ x a
g(x)dx+c.
Cette convergence est même uniforme puisque pour toutx∈[a, b]:
|fn(x)−f(x)|= ∫ x
a
fn′(x)−cndx−
∫ x a
g(x)−c dx
≤
∫ x a
|fn′(x)−g(x)|dx+|cn−c|
≤(b−a)||fn′ −g||0+|cn−c| d’où
||fn−f||0≤(b−a)||fn′ −g||0+|cn−c|.
Pour des séries uniformément convergentes, ce résultat s’écrit comme suit : Corollaire 1.9. Soit
∑∞ n=0
fn une série de fonctions dans C1([a, b]) telle que la série
∑∞ n=0
fn′ converge uniformément sur [a, b] . De plus, il existe x0 ∈[a, b] tel que la suite
∑∞ n=0
fn(x0) converge. Alors la série
∑∞ n=0
fn converge uniformément
vers une fonction f ∈C1([a, b]) avecf′ =
∑∞ n=0
fn′.
CHAPITRE 1. RAPPELS : L’INTÉGRALE DE RIEMANN 20
En particulier pour les séries entières, on en déduit : Corollaire 1.10. Soitf(x) =
∑∞ n=0
anxn une série entière de rayon de conver- gence R >0. Alors pour toutxtel que|x|< R :
f′(x) =
∑∞ n=0
nanxn−1 (1.12)
etF(x) =
∑∞ n=0
anxn
n+ 1 est une primitive de f.
1.6.1 Un théorème de convergence monotone pour l’inté- grale de Riemann
La convergence uniforme est suffisante pour la permutation de la limite et l’intégrale mais pas nécessaire. Le théorème de Dini (théorème 1.12 ) montre que la convergence ponctuelle monotone de fonctions continues vers une fonction continue implique la convergence uniforme. Un résultat plus général énonce que la convergence monotone de fonctions intégrables vers une fonction intégrable permet de permuter la limite et l’intégrale. C’est le théorème de convergence monotone pour l’intégrale de Riemann.
Théorème 1.11. Soit(fn)nune suite de fonctions bornées (Riemann-)intégrables sur [a, b] telle quefn(x)≤fn+1(x)qui converge vers une fonction (Riemann-) intégrablef. Alors
nlim→∞
∫ b a
fn(x)dx=
∫ b a
nlim→∞fn(x)dx
Démonstration. Nous ne donnons pas la démonstration pour le cas général et seulement si les fn sont des fonctions continues. Dans ce cas c’est le théorème de Dini :
Théorème 1.12. Théorème de Dini. Soit (fn)n∈N ⊂ C0([a, b]) une suite croissante, c’est-à-dire fn(x)≤fn+1(x)pour tout n∈N et tout x∈[a, b], qui converge ponctuellement vers f ∈ C0([a, b]). Alors la suite (fn)n∈N converge uniformément versf ∈C0([a, b]).
Il en suit le théorème de convergence monotone dans ce cas.
Supplément - Démonstration du théorème de Dini : Par l’absurde. Si (fn)n∈Nne converge pas uniformément versf ∈C0([a, b]), il existe xn ∈[a, b], n ∈ N, et ϵ > 0 tels que f(xn)−fn(xn) ≥ ϵ. Par le théorème de Bolzano Weierstrass, il existe une sous-suite (xnk)k∈N telle que lim
k→+∞xnk =x ∈[a, b].
La continuité de f et defN pour toutN ∈Nimplique
k→lim+∞f(xnk) =f(x), lim
k→+∞fN(xnk) =fN(x).
La convergence ponctuelle de fN vers f implique lim
N→+∞fN(x) = f(x). Par conséquent pour notre ϵ >0, il existe un Nϵ ∈Ntel que pour tout N ≥Nϵ :
CHAPITRE 1. RAPPELS : L’INTÉGRALE DE RIEMANN 21
|fN(x)−f(x)|< ϵ. En utilisant la monotonie de la suite desfN,fN(x)≤f(x), on trouve 0 ≤f(x)−fN(x)< ϵ pour toutN ≥Nϵ. Fixons un telN. Par la monotonie de la suite defn, on a pour toutnk> N :
ϵ≤f(xnk)−fnk(xnk)≤f(xnk)−fN(xnk) d’où en prenant la limite
ϵ≤ lim
k→+∞(f(xnk)−fN(xnk)) =f(x)−fN(x)< ϵ donc la contradiction désirée.
Chapitre 2
Intégrales multiples : fonctions continues
2.1 Intégrales qui dépendent d’un paramètre
Proposition 1. Soita < bet Iun intervalle ouvert etf : [a, b]×I−→Rune fonction continue. Alors la fonction g:I−→Rdéfinie par
g(y) :=
∫ b a
f(x, y)dx
est continue. Si f est continue et sa dérivée partielle ∂ f(x,y)∂ y est continue alors g est de classeC1(I)et, de plus, pour touty∈I:
g′(y) :=
∫ b a
∂ f(x, y)
∂ y dx.
Démonstration - continuité. L’ingrédient principal de la démonstration est le fait que la fonction f est uniformément continue sur les domaines[a, b]×I0
pour tout I0 ⊂ I borné et fermé. Soit y ∈ I. Alors il existe I0 ⊂ I borné et fermé tel que y ∈ ◦I0 (l’intérieur de I0). Grâce à la continutité uniforme de f dans [a, b]×I0, pour toutϵ >0, il existe δ >0 tel que pour tout |h|< δ pour tous x∈[a, b]:
(x, y),(x, y+h)∈[a, b]×I0 et |f(x, y+h)−f(x, y)|< ϵ.
Par conséquent, pour tout ϵ > 0, il existe δ > 0 tel que pour tout |h| < δ : y+h∈I0et
|g(y+h)−g(y)| ≤
∫ b a
|f(x, y+h)−f(x, y)|dx≤ϵ(b−a) prouvant la continuité de gpuisque ϵpeut être choisi arbitrairement petit.
22
CHAPITRE 2. INTÉGRALES MULTIPLES : FONCTIONS CONTINUES23
Démonstration - dérivabilité. On utilise la continuité uniforme def et de
∂f /∂y sur les domaines[a, b]×I0. Par le théorème des accroissements finis : g(y+h)−g(y)
h =
∫ b a
f(x, y+h)−f(x, y)
h dx=
∫ b a
∂ f(x, y+hθh)
∂ y dx
pour unθh∈]0,1[. On écrit
∫ b a
∂ f(x, y+hθh)
∂ y dx=
∫ b a
∂ f(x, y)
∂ y dx+
∫ b a
∂ f(x, y+hθh)
∂ y −∂ f(x, y)
∂ y dx pour établir pour la dernière intégrale une estimation comme dans la première partie.
Intégrales généralisées. La proposition 1 s’étend aux intégrales généralisées sur [a,∞[ si l’on contrôle en plus le comportement de f(x, y) et sa dérivée partielle ∂ f(x,y)∂ y lorsquextend vers l’infini :
Proposition 2. SoitIun intervalle ouvert etf : [a,∞[×I−→Rune fonction continue. Soitϕ: [a,∞[−→R+ une fonction dont l’intégrale généralisée
∫ ∞
a
ϕ(x)dx
converge telle que|f(x, y)| ≤ϕ(x)pour (x, y)∈[a,∞[×I.
Alors la fonctiong:I−→Rdéfinie par g(y) :=
∫ ∞
a
f(x, y)dx
est continue. Si f est continue et sa dérivée partielle ∂ f(x,y)∂ y est continue et satisfait |∂ f∂ y(x,y)| ≤ψ(x)pour (x, y)∈[a,∞[×Iet pour une fonction ψ:I−→
R+ dont l’intégrale généralisée sur[a,∞[existe, alors g est de classeC1(I)et, de plus, pour tout y∈I:
g′(y) :=
∫ ∞
a
∂ f(x, y)
∂ y dx.
Intégrands et bornes d’intégration avec un paramètre. Si les bornes d’intégration dépendent également du paramètre y de classeC1, on peut faci- lement généraliser le résultat du chapitre 2.5.2 aux intégrales qui dépendent du paramètre y.
Proposition 3. Soit I, J deux intervalles ouverts et f : J ×I −→ R une fonction de classe C1 et a, b : I −→ J deux fonctions de classe C1. Alors la fonctiong:I−→Rdéfinie par
g(y) :=
∫ b(y) a(y)
f(x, y)dx est de classeC1(I)et, de plus, pour touty∈I :
g′(y) :=f(b(y), y)b′(y)−f(a(y), y)a′(y) +
∫ b(y) a(y)
∂ f(x, y)
∂ y dx.
