Calcul intégral
Notations du chapitre — Dans tout ce chapitre, I est un intervalle deRnon vide et non réduit à un point.
I — Primitive d’une fonction
Définition 1.1 — Primitive d’une fonction Soit f : I −→Ret F : I −→R.
On dit que F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I et si
∀x∈I, F0(x) = f(x).
Théorème 1.2 — Structure de l’ensemble des primitives
Si une fonction f : I −→Radmet pour primitive F0, alors l’ensemble des primitives de f est{F0+λ avec λ∈R}.
Théorème 1.3 — Unicité d’une primitive
Soit f : I −→R. On suppose que f admet une primitive. Soit x0∈I et y0∈R. Il existe une unique primitive F de f telle que F(x0) = y0.
Théorème 1.4 — Existence d’une primitive d’une fonction continue Soit f : I −→Rune fonction continue.
Alors f admet une primitive sur I.
II — Intégrale d’une fonction continue
Définition 2.1 — Intégrale d’une fonction continue
Soit a et b deux points de I, f : I−→Rune fonction continue et F une primitive de f .
La quantité F(b)−F(a)ne dépend pas de la primitive choisie.
On appelle intégrale de f entre a et b le réel F(b)−F(a)noté Z b
a
f = Z b
a
f(x)d x=déf.
F(x)b
a =F(b)−F(a)
Théorème 2.2 — Théorème fondamental de l’Analyse Soit f une fonction continue sur I et a∈I.
La fonction
Fa : I −→ R x 7−→ Rx
a f est l’unique primitive de f qui s’annule en a.
Soient deux réels a et b quelconques, f une fonction continue définie entre a et b. Soit les points A(a, 0), B(b, 0), B0(b, f(b)et A0(a, f(a)).
Le domaine orientéIf est délimité par le segment[AB], puis le segment[BB0] puis la portion de la courbe représentative de f comprise entre B0et A0et enfin par le segment[A0A].
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A B A0
B0
O x
y
Figure I.1 — Aire d’un domaine défini à partir d’une fonction.
Par définition l’aire algébrique du domaineIf est l’intégrale entre a et b de f :
A If
= Z b
a
f
III — Propriétés de l’intégrale
Propriété 3.1 — Relation de Chasles
Soit f : I−→Rune fonction continue et a, b et c trois points de I.
Z c a
f + Z b
c
f = Z b
a
f Z a
a
f =0 et
Z b a
f =− Z a
b
f Et
Corollaire 3.2 — Soit n∈N∗,(a, b)∈R, f : [a ; b]−→Rune fonction conti- nue et(x1, x2, . . . , xn)∈[a ; b]n.
n−1X
k=1
Z xk+1 xk
f = Z xn
x1
f On a
Propriété 3.3 — Linéarité de l’intégrale
Soit f et g deux fonctions continues définies sur I admettant pour primitives respec- tivement F et G :
• F+G est une primitive de f +g sur I, et donc Z b
a
(f +g) = Z b
a
f + Z b
a
g
• siλ∈RalorsλF est une primitive deλf sur I, et donc Z b
a
λf =λ Z b
a
f
Corollaire 3.4 — Soit(fk)1¶k¶nn fonctions continues sur I.
Xn k=0
Z b a
fk= Z b
a
Xn k=0
fk On a
Propriété 3.5 — Positivité de l’intégrale Soit f : I −→Rune fonction continue et(a, b)∈I.
Si f est positive sur[a ; b]et si a¶b alors Z b
a
f ¾0.
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De plus siRb
a f =0 alors f est nulle sur I.
Corollaire 3.6 — « Croissance » de l’intégrale Soit f : I −→Ret g : I −→Rdeux fonctions continues.
Si f ¶g et si a¶b alors Rb
a f ¶Rb a g.
Proposition 3.7 — Soit f : I−→Rune fonction continue.
Z b a
f
¶ Z b
a
|f|
IV — Méthodes de calcul d’intégrales
Propriété 4.1 — Utilisation du formulaire
Soit u une fonction de classe C1sur I, qui ne s’annule pas sur cette intervalle. On a alors :
• un+1est une primitive de−(n+1)u0unsur I (avec n6=−1) ;
• 1/u est une primitive de−u0/u2sur I ;
• ln|u|est une primitive de u0/u sur I.
Théorème 4.2 — Intégration par parties
Soient u et v deux fonctions de classe C1sur un segment[a ; b]
Z b a
uv0= uvb
a− Z b
a
u0v
Propriété 4.3 — Soit f : I −→R, J un intervalle deRet u : J−→I.
Si f et u sont de classe C1alors la fonctionϕ : J −→ R
x 7−→ u0(x)f0(u(x))
admet pour primitive la fonction f ◦u.
Théorème 4.4 — Changement de variables – I
Soit a et b deux réels, u une fonction de classe C1de[a ; b]dansRet f une fonction définie sur l’intervalle u〈[a ; b]〉. On a l’égalité
Z b a
f(u(t))u0(t)d t= Z u(b)
u(a)
f(x)d x
Théorème 4.5 — Changement de variables – II
Soit a et b deux réels, f une fonction continue sur[a ; b]. Soit u une fonction définie sur[a ; b], de classe C1sur cet intervalle et strictement monotone. On a alors
Z b a
f(t)d t=
Z u−1(b) u−1(a)
f(u(x))u0(x)d x
Proposition 4.6 — Soit f : I−→Rune fonction continue.
• Si f est paire et si[−α;α]⊂I alorsRα
−αf =2Rα
0 f ;
• si f est impaire et si[−α;α]⊂I alorsRα
−αf =0 ;
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V — Calcul approché d’intégrale
O x
y
a
xn b
Cf
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
Figure I.2 — Méthode des rectangles à gauche : Sn= 1 n
Xn−1 k=0
f
k n
Proposition 5.1 —
n→+∞lim Sn= Z b
a
f(t)d t
O x
y
a
xn b
Cf
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
Figure I.3 — Méthode des trapèzes Sn= 1 n
n−1X
k=0
1 2
f
k n
+f
k+1 n
Définition 5.2 — Valeur moyenne d’une fonction
Soit f : [a ; b]−→Rune fonction continue, avec a<b. Par définition la valeur moyenne de f est le réel
valeur moyenne de f =déf. 1 b−a
Z b a
f
Théorème 5.3 — Somme de Riemann à gauche Soit f : [0 ; 1]−→Rune fonction continue.
1 n
n−1X
k=0
f
k n
−−−−→
n→+∞
Z 1 0
f(t)d t
Théorème 5.4 — Somme de Riemann à droite Soit f : [0 ; 1]−→Rune fonction continue.
1 n
n
X
k=1
f
k n
−−−−→
n→+∞
Z 1 0
f(t)d t
