Université Pierre et Marie Curie Master 1 de Physique et Applications
MP009 2009-2010
Travaux Dirigés de Physique des Fluides Complexes n° 2
Déformation des nématiques en présence d’un champ magnétique
Un cristal liquide nématique repose en z = 0 sur une plaque traitée de façon à ce que l’ancrage y soit planaire dans la direction n // Ox. Le nématique occupe le demi-espace z > 0.
On appelle φ l’angle entre le directeur n et la direction Ox. Le nématique est soumis à un champ magnétique homogène B // Oy.
1) Les nématiques sont anisotropes du point de vue magnétique : ils possèdent une susceptibilité magnétique χ// le long du directeur et χ⊥ perpendiculairement au directeur.
On définit l’anisotropie magnétique χ a = χ// - χ⊥, et on s’intéresse au cas χ a > 0.
L’aimantation par unité de volume du nématique s’exprime alors :
!
M = 1
µ0
[
"#B+"a(
B$n)
n]
, où µ0 est la perméabilité magnétique du vide.Calculer le couple magnétique par unité de volume
!
"M =M#B qui s’exerce sur un
élément de volume du nématique.
Quel est le type de déformation élastique engendrée par l’action du champ magnétique ? x
y z
O
B
y B
x n
φ
2) On peut montrer qu’un élément de volume du nématique ainsi déformé ressent un couple élastique par unité de volume :
!
"elast =K2d2#
dz2 ez, où ez est un vecteur unitaire // Oz.
2a) Montrer que cette expression est compatible avec l’expression vue en cours de la densité d’énergie libre de distorsion élastique du nématique.
2b) Donner l’équation d’équilibre pour l’angle φ dans le volume du nématique. Montrer que cette équation fait apparaître longueur caractéristique ξ, appelée longueur de cohérence magnétique. Donner l’expression et la valeur de ξ.
2c) Ecrire les conditions aux limites sur l’angle φ et résoudre l’équation d’équilibre pour déterminer φ(z). Pour cela, on pourra intégrer cette équation par rapport à φ, puis chercher une solution sous la forme
!
"=#
2 $2% avec
!
"=Arctan
( )
w , et enfin déterminer w(z).Justifier le nom de longueur de cohérence magnétique pour la grandeur ξ.
On donne : χ a = 10 -6 B = 0,1 Tesla K2 = 0,3 10 -11 N µ0 = 4 π 10 -7 SI
Eléments bibliographiques :
- The Physics of Liquid Crystals par P. G. de Gennes, Oxford University Press, Londres, 1974.
- Les cristaux liquides. Concepts et propriétés physiques illustrés par des expériences Tome 1, par P. Oswald et P. Pieranski, Editions scientifiques GB, Paris, 2000.
