L3B Ann´ ee 2017/2018
JUIN 2019
JUSTIFIER TOUTES VOS REPONSES
Exercice 1
Soient G et G’ des groupes etf :G→G0 un morphisme de groupes.
1. Rappeler la d´efinition de l’ordre d’un ´el´ement de G.
2. Montrer que six∈Gest d’ordre finiq, montrer que l’ordre def(x) divise q.
3. D´eterminer tous les morphismes deZ/9ZdansZ/81Z.
4. Soit n ∈ Z tel que n ≥ 2. Soit a ∈ Z. Montrer que la classe [a]n de a modulon∈Zest un g´en´erateur du groupe cycliqueZ/nZsi et seulement siaetnsont premiers entre eux.
5. D´esignons par φ(n) le cardinal de l’ensemble des g´en´erateurs de Z/nZ. Soit p un nombre premier et a un nombre entier positif. Calculer φ(p) puisφ(pa).
6. Soitn∈Ztel quen≥2. On suppose que m et n sont premiers entre eux . D´eterminer le noyau du morphisme de groupes
Z → Z/nZ×Z/mZ a 7→ ([a]n,[a]m)
7. En d´eduire queZ/mnZest isomorphe `aZ/nZ×Z/mZ. 8. En d´eduire queφ(mn) =φ(m)φ(n).
Exercice 2
On consid`ereA=Z[i] ={x+iy, x, y∈Z}.
1. Montrer queAest un sous-anneau de (C,+, .). En d´eduire quil est int`egre.
2. (Cette question est ind ependante du reste de lexercice). Soit φlapplica- tion deZ[X] dansCqui `a P ∈Z[X] associe P(i).
(a) Montrer queφest un morphisme d’ anneaux.
(b) Quelle est limage de φ? Justifier.
(c) Quel est le noyau deφ? Justifier.
1
(d) En d´eduire queA est isomorphe `a Z[X]/(X2+ 1).
3. Faire un dessin repr esentant les´el ements de A dans le plan complexe.
Puis, justifier que pour toutz∈C, il existe z0∈Atel que|z−z0|<1.
4. Soient a, b ∈ A, b 6= 0. Montrer quil existe q ∈ A et r ∈ A tels que a=bq+ret|r|<|b|. (On pourra poserz=a/b.)
5. Montrer que les ´el´ements inversibles de Asont 1,1, iet i.
6. SoitIun id´eal non nul deA.
(a) Montrer que lensemble {|z|2, z∈I, z 6= 0}
a une borne inf´erieureb >0, et quil existez0∈I avec|z0|2=b.
(b) Montrer que z0 engendre I.
(c) En d´eduire que A est un anneau principal.
On sint´eresse maintenant `a comprendre les ´el´ements irr´eductibles de A.
7. Montrer que si a∈Aest tel que |a|2 est un nombre premier, alorsa est irr´eductible dans A.
8. Montrer que sia=x+iy ∈ A est irr´eductible dansA alorsxet y sont premiers entre eux.
9. Soitp≥1 un nombre premier.
(a) Montrerque si p = (x+iy)(x0+iy0) avec x, x0, y, y0 ∈ Z et x+iy irr´eductible dans A, alorsp=x2+y2.
(b) En d´eduire que sip≥2 est premier et quep= 3 mod 4 alorspest irr´eductible dans A.
10. D´ecomposer 30 en produits dirr´eductibles dans A.
Exercice 3
1. D´ecomposer en produit de cycles `a supports deux `a deux disjoints les permutations deS10suivantes.
σx=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 4 8 10 2 9 6 1 7 3
σy=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 5 4 6 8 7 9 1 10 3
σz=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 8 4 1 9 5 6 7 10 2
Donner les ordres deσx, σy, σz. 2
2. (a) Montrer que si deux permutations sont `a supports disjoints, alors elles commutent.
(b) Montrer qu’il y a une permutation d’ordre 3 qui commute avecσx. 3. On rappelle que deux ´el´ements σ1, σ2 ∈ Sn sont conjugu´es ssi il existe
τ∈Sn tel queσ2=τ◦σ1◦τ−1.
Montrer que deux cycles σ1, σ2 ∈Sn sont conjugu´es si et seulement s’ils ont mˆeme longueur. Comment obtenir dans ce cas τ ∈Sn tel queσ2 = τ◦σ1◦τ−1 ?
4. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que deux permutations σ1, σ2 ∈Sn soient conjugu´ees, et expliquer comment obtenir dans ce cas τ∈Sn tel que
σ2=τ◦σ1◦τ−1. 5. Trouverτ ∈S10 tel queτ◦σx◦τ−1=σz.
3
