M 304 : Int´egration et Probabilit´es 1
Devoir 2, `a rendre dans la semaine du 6 au 10 d´ecembre 2004
Nous rappelons l’importance de chercher et de r´ediger seul(e) des devoirs. Les exercices 2 et 3 ne sont pas ind´ependants.
Ce devoir ´etant un peu en avance sur le cours au moment de sa distribution, il faut savoir qu’en toute g´en´eralit´e, une fonction mesurable r´eelle f sur un espace mesurable (Ω,A) muni d’une mesure m estm-int´egrable sur Ω si et seulement si la fonction |f| est m-int´egrable sur Ω, que l’ensemble des fonctions mesurables r´eelles m-int´egrables est un espace vectoriel sur lequel l’int´egrale est une forme lin´eaire qui conserve l’in´egalit´e des fonctions et que pour toute fonction m-int´egrablef,
| Z
Ω
f m(dx)| ≤ Z
Ω
|f|m(dx).
Pour r´esoudre les exercices2 et3, on admettra que si des variables al´eatoires r´eelles (v.a.r.) sont ind´ependantes, la probabilit´e de l’intersection de n ≥ 2 ´ev´enements d´efinis respectivement `a partir de n sous-ensembles disjoints de l’ensemble de ces v.a.r. est ´egale au produit des probabilit´es de ces ´ev´enements.
Exercice 1
Soit ϕ une fonction bor´elienne de [0,1] dans R,λ-int´egrable sur [0,1]. On pose f(x) =
Z
[0,1]
|ϕ(t)−x|λ(dt).
1 -D´emontrer que f est d´efinie et uniform´ement continue sur R. Indication : On montrera plus pr´ecis´ement que
∀x, y ∈R, |f(x)−f(y)| ≤ |x−y|.
2 - Que peut-on dire de la fonction ϕ dans le cas o`u il existe deux r´eels x et y tels que
x < y et |f(x)−f(y)|=|x−y|?
Indication : On pourra d’abord r´epondre aux questions auxiliaires suivantes : 2.a - Soit (Ω,A, m) un espace mesur´e et f : Ω −→ R une fonction mesurable et m-int´egrable sur Ω. Que peut-on dire de f si
| Z
Ω
f dm|= Z
Ω
|f|dm ?
2
2.b - Que peut-on dire de deux r´eels a etb tels que
| |a| − |b| |=|a−b|?
3 -Existe-t-il une fonction bor´elienneϕ de [0,1] dans R, λ-int´egrable sur [0,1] telle que
∀x, y ∈R, |f(x)−f(y)|=|x−y|? Exercice 2
Soit f une fonction continue ≥ 0 d´efinie sur ]0,+∞[, X une v.a.r. ≥ 0 d´efinie sur un espace de probabilit´e (Ω,A, P). On dira que X admet f comme densit´e de probabilit´e si
P(X = 0)=0, P(a≤X ≤b)=Rb
af(x)dx, ∀a, b∈R tels que 0< a < b.
Cette d´efinition est conforme `a la d´efinition g´en´erale des lois `a densit´e. Elle ne fait intervenir que l’int´egrale de Riemann.
1 -D´emontrer que l’int´egrale de Riemann impropre R+∞
0 f(x)dx est convergente et vaut 1.
2 - D´emontrer que pour tout entier n ≥1, Xn admet une densit´e de probabilit´efn que l’on calculera, puis d´emontrer que fn −−−−→
n→+∞
0.
3 - Quels sont les domaines de convergence C et D de la suite (Xn, n ≥ 1) res- pectivement dans [0 +∞[ et [0,+∞] ? Quelle est la limite de (Xn, n ≥ 1) dans ce dernier cas ?
4 - Dans la suite interviendrons aussi deux v.a.r. Y ≥ 0 et Z ≥ 0, Y admettant comme densit´e de probabilit´e une fonction g continue ≥ 0, d´efinie sur ]0,+∞[ (au sens ci-dessus), les v.a.r.XetZd’une part,Y etZd’autre part, ´etant ind´ependantes.
D´emontrer que la v.a.r.
T =X·1{Z≤1}+Y·1{Z>1}
admet une densit´e de probabilit´e (au sens donn´e ci-dessus), que l’on sp´ecifiera.
5 -On suppose que l’esp´erance et la variance des v.a.r.X etY existent. D´emontrer qu’il en est de mˆeme de T et calculer E (T) et var (T) en fonction des esp´erances et variances de X etY.
Exercice 3(facultatif)
1- En utilisant l’analogue de la question 4 de l’exercice pr´ec´edent pour des lois discr`etes, d´emontrer qu’avec 6 d´es, on peut fabriquer une v.a.r.X prenant les valeurs
3 1,. . . ,24 avec la probabilit´e 241·
2 - Un instituteur veut utiliser la v.a.r. X pr´ec´edente pour d´efinir un proc´ed´e de tirage au sort d’un ´el`eve dans sa classe de 23 ´el`eves, num´erot´es de 1 `a 23. Il d´ecide de lancer une premi`ere fois ses 6 d´es, de calculer la valeur deX qu’il appelle la v.a.r.
Y1 et de choisir l’´el`eve dont le num´ero est cette valeur si elle est ≤ 23 ; sinon, soit si cette valeur est 24, il relance les 6 d´es, calcule de nouveau la valeur de X, cette v.a.r. ´etant maintenant not´eeY2 et prend sa d´ecision comme ci-dessous.
2.a - L’instituteur est-il sˆur (presque sˆur) de pouvoir choisir un ´el`eve au bout d’un temps fini ?
2.b - Combien de lancers devra-t-il faire pour cela en moyenne ?
2.c - D´emontrer que tous les ´el`eves ont, dans ce processus al´eatoire, la probabilit´e
1
23 d’ˆetre tir´es.
