Universit´e de Lyon Pr´eparation du CAPES
Universit´e Claude Bernard Lyon 1 Ann´ee 2009/10
PREPARATION DES LEC´ ¸ONS
Horaires : mardis et jeudis de 13h45 `a 18h. Mercredi de 8h `a 12h15 (apr`es les ´ecrits).
1. Calendrier jusqu’aux ´ecrits
(S2) Jeudi 17.IX — 21. D´efinition vectorielle d’une droite du plan, d’une droite et d’un plan de l’espace. Repr´esentations param´etriques. G´en´eration des demi- droites, des segments. Parall´elisme. (VB)
52. Suites monotones, suites adjacentes. Approximation d’un nombre r´eel, d´eveloppement d´ecimal. L’expos´e pourra ˆetre illustr´e par un ou des exemples faisant appel `a l’utilisation d’une calculatrice. (AT)
(S3) Jeudi 24.IX — 22. ´Equation cart´esienne d’une droite du plan. Probl`emes d’intersection, parall´elisme. Condition pour que trois droites soient concourantes. (VB) 53. Suites convergentes. Op´erations alg´ebriques, composition par une application continue. Limites et relation d’ordre. (XR)
(S4) Jeudi 1.X — 23. Droites et plans dans l’espace. Positions relatives ; plans contenant une droite donn´ee. (VB)
58. Limite finie d’une fonction `a valeurs r´eelles en un point a de R.
Op´erations alg´ebriques sur les limites. Continuit´e d’une fonction en un point. Exemples. (EF)
(S5) Jeudi 8.X — 24. Th´eor`eme de Thal`es. Applications `a la g´eom´etrie du plan et de l’es- pace. (CD)
54. Suites divergentes. Cas des suites admettant une limite infinie : com- paraison, op´erations alg´ebriques, composition par une application. (XR)
(S6) Jeudi 15.X — 25. D´efinition et propri´et´es du barycentre de n points pond´er´es. Appli- cation `a l’´etude de configuration du plan ou de l’espace. (CD)
59. Limite `a l’infini d’une fonction `a valeurs r´eelles. Branches infinies de la courbe repr´esentative d’une fonction. Exemples. L’expos´e pourra ˆetre illustr´e par un ou des exemples faisant appel `a l’utilisation d’une calculatrice. (EF)
(S7) Jeudi 22.X — 16. Construction du corps C des nombres complexes. Propri´et´es. (XR) 60. Image d’un intervalle par une fonction continue, cas d’un segment.
Cas d’une fonction continue strictement monotone. (EF)
(S8) Jeudi 5.XI — 17. Module et argument d’un nombre complexe. Interpr´etation g´eom´etrique, lignes de niveau associ´ees. Applications. (XR)
61. D´eriv´ee en un en point, meilleure approximation affine, in- terpr´etation g´eom´etrique. Exemples. L’expos´e pourra ˆetre illustr´e par un ou des exemples faisant appel `a l’utilisation d’une calculatrice. (EF) (S9) Jeudi 12.XI — 26. Homoth´eties et translations ; transformation vectorielle associ´ee. Ef- fet sur l’alignement, les directions, les distances... Applications `a l’ac- tion sur les configurations usuelles. (SP)
62. Fonctions d´eriv´ees. Op´erations alg´ebriques. D´eriv´ee d’une fonction compos´ee. Exemples. (EF)
(S10) Jeudi 19.XI — 9. Propri´et´es axiomatiques de N. Construction de Z. (CD)
18. Interpr´etation g´eom´etrique des applications de C dans C d´efinies par z7→ z + b z 7→ az et z 7→ z, o`u a et b appartiennent `a C, a non nul. Exemples d’application `a l’´etude de configurations g´eom´etriques du plan. (XR)
(S11) Jeudi 26.XI — 4. Description math´ematique d’une exp´erience al´eatoire : ´ev`enements
´el´ementaires, ´ev`enements, probabilit´e (on se limitera au cas o`u l’en- semble d’´ev`enements ´el´ementaires est fini). (FDB)
64. Comparaison des fonctions : domination, pr´epond´erance,
´equivalence. Exemples et applications. (EF)
(S12) Jeudi 3.XII — 5. Probabilit´e conditionnelle ; ind´ependance de deux ´ev`enements (on se limitera au cas o`u l’ensemble d’´epreuves est fini). Applications `a des calculs de probabilit´es. (FDB)
27. Compos´ees d’homoth´eties et de translations du plan. Groupe des homoth´eties-translations. Applications. (SP)
(S13) Jeudi 10.XII — 6. Variable al´eatoire `a valeurs r´eelles dont l’ensemble des valeurs est fini. Loi de probabilit´e. Esp´erance math´ematique, variance. Exemples.
(FDB)
19. ´Etude de la fonction de C dans C d´efinie par f : z7→ z−az−b, o`u a, b, z sont complexes. Lignes de niveau pour le module, l’argument de la fonc- tion f . Applications. (XR)
(S14) Mardi 15.XII — 28. Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associ´ee. Applications (calculs de distances et d’angles, optimisation..).
(AT)
63. Fonction r´eciproque d’une fonction strictement montone sur un in- tervalle de R. ´Etude de la continuit´e, de la d´erivabilit´e. Exemples. (EF)
Jeudi 17.XII — 20. Racines n-`eme d’un nombre complexe. Interpr´etation g´eom´etrique.
Applications. (XR)
29. D´efinition et propri´et´e du produit scalaire dans le plan ; expres- sion dans une base orthonormale. Application au calcul de distances et d’angles. (VB)
(S15) Mardi 5.I — 10. Division euclidienne dans Z, unicit´e du quotient et du reste. Ap- plications. L’expos´e pourra ˆetre illustr´e par un ou des exemples faisant appel `a l’utilisation d’une calculatrice. (MC)
30. Le cercle. Positions relatives d’une droite et d’un cercle, de deux cercles. Point de vue g´eom´etrique et point de vue analytique. Lien entre les deux points de vue. (JG)
Jeudi 7.I — Capes blanc
(S16) Mercredi 13.I(∗)— 11. Pgcd de deux entiers naturels. Nombres premiers entre eux. Applica- tions. L’expos´e pourra ˆetre illustr´e par un ou des exemples faisant appel
`a l’utilisation d’une calculatrice. (MC)
33. Relations m´etriques et trigonom´etriques dans un triangle quel- conque. Applications. (SP)
Jeudi 14.I — 7. Sch´ema de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. (FDB) 66. Th´eor`eme de Rolle. Applications. (EF)
(S17) Mardi 19.I — 12. Sous-groupes additifs de Z. ´Egalit´e de B´ezout. R´esolution dans Z d’une ´equation de la forme ax+ by = c. (MC)
41. Rotations planes. Notion d’angle. (On pourra traiter ces notions dans l’ordre que l’on voudra). (AT)
Jeudi 21.I — 8. S´erie statistique `a deux variables num´eriques. Nuage de points as- soci´e. Ajustement affine par la m´ethode des moindres carr´es. Droites de r´egression. Applications. L’expos´e pourra ˆetre illustr´e par un ou des exemples faisant appel `a l’utilisation d’une calculatrice. (FDB)
35. Produit vectoriel dans l’espace euclidien orient´e de dimension trois.
Point de vue g´eom´etrique, point de vue analytique. Applications. (VB) (S18) Mardi 26.I — 13. Nombres premiers ; existence et unicit´e de la d´ecomposition d’un
nombre en facteurs premiers. Infinitude de l’ensemble des nombres pre- miers. Exemple(s) d’algorithme(s) de recherche de nombres premiers.
L’expos´e pourra ˆetre illustr´e par un ou des exemples faisant appel `a l’uti- lisation d’une calculatrice. (MC)
76. Primitives d’une fonction continue sur un intervalle ; d´efinition et propri´et´es de l’int´egrale, in´egalit´e de la moyenne. Applications. (GJ)
(∗)D´ecalage d ˆu `a une formation IUFM le mardi 12.I. Ces lec¸ons auront lieu le mercredi apr`es-midi.
(S19) Jeudi 28.I — 36. Applications du produit scalaire et du produit vectoriel dans l’espace orient´e : calculs de distances, d’aires, de volumes, d’angles... (VB)
70. Fonctions logarithmes. (FDB)
Mardi 2.II — 14. Congruences dans Z. Anneaux Z/nZ. (MC)
46. R´eflexions et rotations de l’espace. Effet sur les distances, les angles... Applications `a l’action sur les configurations usuelles. (JG) Jeudi 4.II — Capes blanc
(S20) Mardi 9.II — 48. D´efinitions de la parabole, g´eom´etriquement et par ´equation r´eduite ;
´equivalence entre ces d´efinitions. (AT)
74. Fonctions convexes d’une variable r´eelle. Applications. (JG) Jeudi 11.II — 42. Groupe des isom´etries du plan : d´ecomposition d’une isom´etrie
en produit de r´eflexions, groupe des d´eplacements, classification des isom´etries `a partir de l’ensemble des points invariants. (VB)
65. In´egalit´e des accroissements finis. Exemples d’applications `a l’´etude de suites et de fonctions. L’expos´e pourra ˆetre illustr´e par un ou des exemples faisant appel `a l’utilisation d’une calculatrice. (EF)
(S21) Mardi 16.II — 49/50. D´efinition de l’ellipse/de l’hyperbole, g´eom´etriquement et par
´equation r´eduite ; ´equivalence entre ces d´efinitions. (AT)
71. Fonctions exponentielles. (JG)
Jeudi 18.II — 67. Formules de Taylor. Applications. (EF)
77. Int´egration par parties, par changement de variables. Exemples et applications. (GJ)
2. Calendrier apr`es les ´ecrits
(S22) Mardi 30.III — 34. Droites remarquables du triangle : bissectrices, hauteurs, m´edianes, m´ediatrices... (dans l’ordre que l’on voudra). (MC)
68. D´eveloppements limit´es, op´erations sur les d´eveloppements limit´es.
(JG)
Mercredi 31.III — 15. Construction du corps Q des nombres rationnels. Propri´et´es. (YG) 31. Th´eor`eme de l’angle inscrit. Cocyclicit´e. Applications. (AT) Jeudi 1.IV — 38. R´eflexion du plan ´echangeant deux points donn´es ; m´ediatrice,
r´egionnement associ´e. Applications au triangle et au cercle (cercle cir- conscrit, angle inscrit...). (VB)
69. Fonctions polynˆomes. (FDB)
(S23) Mardi 6.IV — 40. Recherche des isom´etries du plan conservant un carr´e, un losange, un parall´elogramme, un rectangle (dans l’ordre que l’on voudra). (MC) 73. Caract´erisation des fonctions exponentielles r´eelles par l’´equation fonctionnelle f(x + y) = f (x) × f (y). (JG)
Mercredi 7.IV — 37. Orthogonalit´e dans l’espace affine euclidien : droites orthogonales, droite orthogonale `a un plan, plans perpendiculaires. Applications. (AT) 39. R´eflexion du plan ´echangeant deux droites s´ecantes donn´ees, bis- sectrices. Applications au triangle et au cercle (cercle inscrit, tangentes
`a un cercle...) (VB)
Jeudi 8.IV — 1. Utilisation d’arbres, de tableaux, de diagrammes pour des exemples de d´enombrement. D´enombrement des arrangements et des permuta- tions. (YG)
55. ´Etude des suites de terme g´en´eral an, nbet n! (a∈ C, b ∈ R, n ∈ N∗).
Croissances compar´ees. Exemples de comparaison de suites aux suites pr´ec´edentes. L’expos´e pourra ˆetre illustr´e par un ou des exemples faisant appel `a l’utilisation d’une calculatrice. (FDB)
(S24) Mardi 20.IV — 32. Relations m´etriques dans un triangle rectangle. Trigonom´etrie. Ap- plications. (AT)
78. Diverses m´ethodes de calcul approch´e d’int´egrales d´efinies. L’ex- pos´e pourra ˆetre illustr´e par un ou des exemples faisant appel `a l’utilisa- tion d’une calculatrice. (JG)
Mercredi 21.IV — 2. Exemples de probl`emes dont la r´esolution fait appel `a l’utilisation de graphes, orient´es ou non. (YG)
72. Croissance compar´ee des fonctions r´eelles x7→ ex, x7→ xa et x7→
ln(x) au voisinage de +∞. Applications. L’expos´e pourra ˆetre illustr´e par un ou des exemples faisant appel `a l’utilisation d’une calculatrice.
(GJ)
Jeudi 22.IV — 43. ´Etude des transformations du plan euclidien qui conservent les rap- ports de distance. (VB)
56. ´Etude de suites de nombres r´eels d´efinies par une relation de r´ecurrence un+1= f (un) et une condition initiale. L’expos´e pourra ˆetre illustr´e par un ou des exemples faisant appel `a l’utilisation d’une calcu- latrice. (FDB)
(S25) Mardi 27.IV — 47. Courbes d´efinies par des ´equations param´etriques dans le plan. Vec- teur d´eriv´e et tangente ; interpr´etation cin´ematique. (SP)
79. M´ethodes d’approximation des z´eros d’une fonction num´erique r´eelle. Exemples. L’expos´e pourra ˆetre illustr´e par un ou des exemples faisant appel `a l’utilisation d’une calculatrice. (JG)
Mercredi 28.IV — 75. Applications de la d´erivation `a l’´etude des extr´emums ´eventuels d’une fonction num´erique d’une variable r´eelle. Exemples. L’expos´e pourra ˆetre illustr´e par un ou des exemples faisant appel `a l’utilisation d’une calculatrice. (AT)
80. ´Etude des ´equations diff´erentielles lin´eaires du second ordre `a coef- ficients constants. Exemples. (JG)
Jeudi 29.IV — 3. Coefficients binomiaux, d´enombrement des combinaisons, formule du binˆome. Applications. (YG)
57. Exemples d’´etude de la rapidit´e de convergence d’une suite r´eelle (un)n vers une limite ℓ. Cas o`u |un− ℓ| est domin´e par n−a, par qn...
L’expos´e pourra ˆetre illustr´e par un ou des exemples faisant appel `a l’uti- lisation d’une calculatrice. (FDB)
(S26) Mercredi 5.V — 51. Exemples de repr´esentation param´etrique des coniques ; construc- tion de la tangente et de la normale en un point `a une parabole, une ellipse, une hyperbole. (SP)
81. Exemples d’approximation d’une solution d’une ´equation diff´erentielle par la m´ethode d’Euler. L’expos´e pourra ˆetre illustr´e par un ou des exemples faisant appel `a l’utilisation d’une calculatrice.
(JG)
Jeudi 6.V — 44. Recherche des isom´etries du plan conservant un polygone r´egulier ; exemples (triangle ´equilat´eral, carr´e, hexagone, octogone, ...) (YG) 45. R´eflexion de l’espace ´echangeant deux points donn´es ; plan m´ediateur, r´egionnement associ´e. ´Etude des isom´etries de l’espace ayant une droite de points invariants. (VB)
3. Salles (jusqu’au vacances de No¨el) – Du 17 septembre au 12 novembre : Th´emis 66 et 67.
– Du 19 novembre au 17 d´ecembre, les jeudis : Pr´efabriqu´es TD 12 et 13.
– Le mardi 15 d´ecembre : D´eambulatoire, salle 5 et Mezzanine 10.
4. Enseignants Vincent BORRELLI: 21, 22, 23, 29, 35, 36, 38, 39, 42, 43, 45.
Maria CARRIZOSA: 10, 11, 12, 13, 14, 34, 40.
Christophe DELAUNAY: 9, 24, 25.
Fr´ed´erique DUHEILLE-BIENVENUE¨ : 4, 5, 6, 7, 8, 55, 56, 57, 69, 70.
Emmanuel FRICAIN: 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67.
Yoann GELINEAU: 1, 2, 3, 15, 44.
J´erˆome GERMONI: 30, 46, 68, 71, 73, 74, 78, 79, 80, 81.
Guillaume JOUVE: 72, 76, 77.
Serge PARMENTIER: 26, 27, 33, 47, 51.
Xavier ROBLOT: 16, 17, 18, 19, 20, 53, 54.
Amaury THUILLIER: 30, 31, 32, 37, 48, 49/50, 52, 75.
