1 Primitives d’une fonction continue

MATHS Term INTEGRATION COURS

1

Ce document n’est pas un cours à proprement parler. Son objectif est de récapituler l’essentiel et d’expliquer un certain nombre de notions.

1 Primitives d’une fonction continue

1.1 Définition et résultat immédiat

Définition :

Soit une fonction fdéfinie et continue sur un intervalle [a, b].

Dire qu’une fonction F est une primitive de f sur [a, b], c’est dire que pour tout x ∈ [a, b],

( ) ( )

F x ′ = f x

Exemple :

Soit la fonction f définie sur ℝ par f (x) = 6x – 5.

La fonction F0 : x → 3x² – 5x est une primitive de f puisque F0’(x) = f (x).

Mais la fonction F4 : x→ 3x² – 5x + 4 est aussi une primitive de f puisque F4’(x) = f (x).

Puis la fonction F-2,5 : x → 3x² – 5x – 2,5 en est aussi une puisque F-2,5’(x) = f (x).

Théorème :

* La fonction f admet une infinité de primitives ;

* F et G sont deux primitives de f ⇔

G = F +

k (où k est une constante réelle)

* F est une primitive de f ⇔ toutes les primitives de f sont les toutes les fonctions de type

G = F +

k (où k est une constante réelle)

1.2 primitives de fonctions usuelles

f F f F

x

^α

α^réel ≠ –1

1

1

x k

α

α

+

+ +

x 1

u u

′

( )

ln x +k

( )

ln u +k

( )

cos

ax b +

( )

sin

ax b +

( )

sin

ax b a k

+ +

( )

cos

ax b a k

− +

+

e

ax

u′ e

u

ax

k

a +

1 e

eu

La première formule de ce tableau fait référence à toute puissance de x (hormis –1), autrement dit : les puissances négatives et les racines sont également concernées.

( )

3 ³

( )

² 2

( )

4 ⁴

( )

³ 3

1 1 1 1

2 2 ; 3 3

x x

f x x F x k k f x x F x k k

x x x x

− −

−

−

−

−

= = ⇔ = + = + = = ⇔ = + = +

− −

( ) ( ) ( ) ( )

3 4

1 4

1 2 3 3

3 3 3

2 2 2 3

3 3 ; 4 4

2 3

x x

f x = x = x ⇔ F x = + = k x + k f x = x = x ⇔ F x = + = k x + k

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2

1 2 3

3 3 2

3 2

1 1

2 ; 3

1 1

2 3

x x

f x x F x k x k f x x F x k x k

x x

−

= =

−

⇔ = + = + = = ⇔ = + = +

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2

2 Intégrales

Lors de la recherche de valeurs, pour des grandeurs physiques ou géométriques, l’utilisation d’une formule simple est impossible (car les formes géométriques considérées sont compliquées, ou car certaines grandeurs sont variables dans le temps). On a alors besoin, après traduction du problème en langage mathématique, de mesurer dans un certain intervalle

[

^{a b ;}

]

« l’aire comprise entre la courbe d’une fonction donnée et l’axe des abscisses », ce qu’on nommera

« intégrale de la fonction, de a à b ».

Le résultat s’exprime en unités d’aire (u.a.), une u.a.

équivalant à un carreau mesurant une unité sur chaque axe.

2.1 Propriétés immédiates

a. Encadrement :

(

b−a

)

^inf f

( [ ]

a b^,

)

≤

∫

a^b f x

^{( )}

^.dx≤ −

⁽

b a

⁾

^supf

( [ ]

a b^,

)

b. Comparaison de deux fonctions :

[ ] ( )

^.

( )

^.

Si sur ; , alors ^b d ^b d

a a

f ≥g a b

∫

f x x≥

∫

g x x c. Relation de Chasles :

(pour tous réels a, b, c)

( )

^.d

( )

^.d

( )

^.d

b c b

a f x x= a f x x+ c f x x

∫ ∫ ∫

d. Propriété de linéarité : (λ ^et µ réels quelconques fixés)

( ) ( )

(

^{. .}

)

^{.d .}

( )

^{.d .}

( )

^.d

b b b

a

λ

f x +

µ

g x x=

λ

a f x x+

µ

a g x x

∫ ∫ ∫

En particulier :

∫

a^b

(

f x

( ) ( )

+g x

)

^.dx=

∫

a^b f x

^{( )}

^.dx+

∫

a^bg x

^{( )}

^.dx ^et

∫

_a^b

^λ

^{.f x}

( )

^.dx=

^λ

^.

∫

_a^{b f x}

( )

^.dx

e. Signe d’une intégrale de a à b (a < b) :

fonction changeant de signe : Fonction positive : fonction négative : intégrale = différence entre Intégrale positive Intégrale négative « partie positive » et

« partie négative »

( ) ^.d

b

a

f x x

∫

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3 f. Intégrale de la différence de deux fonctions :

Considérons une fonction f et une fonction g inférieure à f sur [a ; b].

L’intégrale

∫

a^b

(

f x

( ) ( )

−g x

)

^.d est l’aire de la zone située x entre les deux courbes.

2.2 Valeur moyenne d’une fonction

Théorème et définition : Soit f une fonction intégrable et bornée par les réels m et M sur [a ; b].

Alors il existe un nombre µ appartenant au segment [m ; M] tel que

∫

_a^b

^{f x} ( )

^.d

^{x = µ} ( ^{b a −} )

^.

µ est appelé valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b], et ¹ _a^b

^{f x} ( )

^.d

^x

µ = b a

− ∫

Remarque : on sait qu’il existe au moins un réel ξ dans [a, b] tel que µ ^{= f (}ξ^).

2.3 Lien entre primitive et intégrale

Soit une fonction f définie et continue sur un intervalle [a ; b].

( ) ( ) ( ) ( )

I

. , I.

est une primitive de sur

d pour tout couple de

b a

F f

f x x F b F a a b

⇔

= −

∫

Preuve :

Définissons la fonction F sur [a ; b] par : ^{F x}

( )

⁼

∫

_a^{xf t}

( )

^{.d . t}

On a alors : ^{F x}

(

^{+ −h}

)

^{F x}

( )

⁼

∫

_x^{x h+ f t}

( )

^.d (1) (si bien sûr x^t +h∈ [a ; b])

Or d’après la relation de la moyenne on sait qu’il existe un réel x + λh, λ ∈ [0 ;1], tel que

( )

^.

( )

x h

x f t t

f x h

h λ

+

= +

∫

^d

(2).

(1) et (2) donnent : ^{F x}

(

^h

)

^{F x}

( )

^{f x}

(

^h

)

h λ

+ − = +

La limite de ce nombre, lorsque h tend vers zéro, existe et est la même par valeurs inférieures comme par valeurs supérieures, puisqu’il s’agit de f (x), valeur d’une fonction continue.

Donc le nombre dérivé de F existe et vaut f (x).

Nous obtenons donc le résultat suivant : ^{F x}

(

^{+ −h}

) ( )

^{F x =}

∫

_x^{x h+ f t}

( )

^{.dt ⇔ F}est une primitive de ^f ou avec des notations plus convenues :

( ) ( )

^b

( )

^.d est une primitive de

F b −F a =

∫

a f x x ⇔ F f