Introduction a la théorie des tourbillons - (Démonstration élémentaire)

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Submitted on 1 Jan 1907

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Introduction a la théorie des tourbillons - (Démonstration élémentaire)

E. Mathy

To cite this version:

E. Mathy. Introduction a la théorie des tourbillons - (Démonstration élémentaire). J. Phys. Theor.

Appl., 1907, 6 (1), pp.619-624. �10.1051/jphystap:019070060061901�. �jpa-00241242�

619 Pour les distances inférieures à 1 centimètre, ^et d’après les nombres de M. Carr, ^sa valeur décroît rapidement ^avec la distance. Elle dé- croît ensuite beaucoup plus ^lentement.

Elle tend vers une limite dont la valeur est voisine de 420, ^tandis que les expériences ^{de M.} Bouty, ^{faites avec une} méthode entièrement différente et pour des épaisseurs gazeuses supérieures ^{à 5} centimètres,

l’ont toujours ^révélée commue une quantité ^constante égale ^à 419, caractéristique ^du gaz ^et indépendante ^{de la} distance, supposée supé-

rieure à quelques centimètres.

En résumé, la loi de Paschen n’est pas applicable ^aux très faibles distances d’électrodes, pour des pressions supérieures ^{à la} pression critique, ^{et ceci à cause de} la variation rapide ^{de la} cohésion dié-

lectrique ^{avec ces} distances. Elle s"applique ^très sensiblement aux

décharges ^en champ ^{uniforme à travers} les gaz, ^entre deux plateaux parallèles, ^{distants de} plusieurs centimètres au moins, pour ^toute

pression inférieure ou supérieure ^{à la} pression critique.

INTRODUCTION A LA THÉORIE DES TOURBILLONS

(DÉMONSTRATION ÉLÉMENTAIRE) ;

Par M. E. MATHY.

A. Les fonctions log 2 ^et 0, p ^{et 0} désignant les coordonnées polaires

d’un point, satisfont ^à l’équat£on ^de Laplace.

Soient OX l’axe polaire, ^{M un} point ^dont les coordonnées sont p ^{et 0} 1) ~ ^en choisissant OX comme axe des x et une perpendicu-

laire en 0 à cette droite comme axe des y, les cordonnées rectilignes

de M sont y = MN et x ^~ ON.

Entre ces deux systèmes ^de coordonnées, ^{on a} évidemment les

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620

relations :

Le point ^{M, se} déplaçant ^{d’une façon continue dans le} plan, ^décrit

une ligne ; ^{on se} propose de rechercher les propriétés ^de log p ^{et de 0} quand ^{M passe d’une} position ^{à une autre} infiniment voisine; ^{à cet} effet, ^{on dérive} (i) pour x ^et pour y ; ^{on a} successivement :

De ces égalités, ^{on déduit :}

En dérivant l’équation (7) ^{pour x,} l’équation (8) ^{pour y, et} ajou-

tant, ^{on obtient :}

De même, ^{on aurait :}

621 B. Lorsqu’?,tn point ^{décrit une} circonférence ^{avec une vitesse} qui

est en raison inverse du rayon, il ^{existe une} fonction ^{des vitesses et}

cette fonction ^{est 9.}

En effet : le point ^{M décrit une} circonférence de centre 0 et de rayon p ^{en se} déplaçant ^{dans le sens} trigonométrique ^{avec une}

vitesse V ; ^{soient u et v les} composantes ^{de cette vitesse suivant}

ox et oy ; désignant par dO _it la vitesse angulaire ^de M, ^{on a :}

De ce que V - 1 _par hypothèse, ^on peut écrire les égalités (5) ^et

p

(6) ^{comme suit :}

__

En comparant (11) ^et ( 1~), ^{on conclut :}

C . -~- vdJl prise ^le long ^d’une circon férence

est égale ^{à la} surface ^{du cercle} multipliée par le double de la vitesse

angulaire.

Car, ^de (10’), ^{on déduit :}

Ces formules combinées ^avec (11) ^{donnent :}

622

En intégrant ^le long ^{de la} circonférence _p, ^{on a :}

p ^est constant; ^{si donc} a ou la vitesse angulaire est uniforme,

Or _p est constant; ^{si donc}

dt ^ou la vitesse angulaire ^{est uniforme,}

on obtient :

D. Lorsqu’une force peut par le nzême ^vecteur

vitesse, l’intégrale f (udx ^{+ vdy), prise le long d’une ligne, a un sens}

dynamique.

u et v deviennent, ^{avec la condition} énoncée, ^les composantes ^d’une force; ^{dès lors} + vdJ est le travail élémentaire produit par cette force le long ^{de ds, élément de la} ligne ; le travail total, lorsque ^le point d’application parcourt ^{toute la} ligne, ^{est la}

somme des travaux élémentaires. Donc :

E. On peut transformer ^cette intégrale ^de ligne ^{en une} intégrale

de surface ; ^{on a :}

On recherche d’abord la valeur de udx + ^le long ^{du contour}

du rectangle infiniment petit clxc y, ^ABCD (fig. 2)

FIG. 2.

Par convention, ^le périmètre ^{est décrit} par l’observateur ayant

la surface à gauche, ^{donc dans le sens} des flèches. En A, ^{les com-}

posantes ^{de la force} sont U1 et v ; ^{on a dès lors :}

Si l’on étend l’intégration ^à la circonférence _p, on remarque que, dans la première intégrale, ^les lignes intérieures sont décrites deux fois en sens contraire et apportent ^{donc un résultat} nul ; ^il

reste la valeur de prise ^le long ^{du contour} extérieur, c’est-à-dire de la circonférence ; dans le second membre de l’équa- tion, ^{on a la somme des surfaces} élémentaires; ^{donc :}

F’. du mot : tourbillon.

En rapprochant ^les égalités (15) ^et (i6), ^{on en conclut :}

Si le cercle devient très petit, l’intégrale ^{se réduit à :}

Comme cZxdy devient ainsi égal ^à la surface du cercle ’ITp2, ^{on a :}

Or le premier ^{membre de} (18) ^est l’expression ^{du double du}

tourbillon rectiligne que Von Ilelmholtz _pose égal ^{à 21 et} qu’il sup- pose normal ^au plan ^{xy; on peut donc écrire :}

Il en résulte que :

624

Le tourbillon se représente clonc par ^une droi te normale au plan ^du

mouvement et de longueur proportionnelle à la vitesse angulaire ^de

ce mouvement ; ^cette ligne ^est l’axe du tourbillon et passe par le centre de la circonférence.

Le raisonnement précédent ^{est vrai pour} chaque plan ^{des coor-} données ; désignant ^les composantes ^du tourbillon par ~, ^7), ~, les composantes de la vitesse par u, v, 2~, ^{on a} d’une façon générale :

De cette étude, ^il résulte que, pour qu’il y ait tourbillon, ^{il faut}

deux conditions : 1° la force doit s’exprimer par le ^{même vecteur} que la vitesse ; ^{2° cette} vitesse doit être en raison inverse de la dis- tance de l’axe du tourbillon au point ^où l’on estime l’action de la force.

En hydrodynamique, ^on sait que le tourbillon ^{conserve sa} valeur si la température ^du liquide ^{est uniforme et} si les forces motrices admettent un potentiel (théorème ^de Helmholtz) .

En électrodynamique, ^{Maxvvell a} établi les équations suivantes :

Quand (u, ^v, w) représentent ^les composantes ^{du courant élec-}

trique ; («, ~3, y), ^les composantes de la force magnétique résultante,

comme («, a, y) ^{satisfont aux deux} conditions énoncées, le sys- tème (22) ^est analogue ^au système (21) ^{si :}

(23) ^{~ = 2xu, q == 2xv, ~ =}

On ^aura ainsi l’image d’un tourbillon électrique ^{si l’on se} repré-

sente un courant rectiligne ^indéfini électrique agissant ^{sur l’unité}

de pôle magnétique ^et le faisant tourner dans un plan perpendi-

culaire à ce courant avec une vitesse en raison inverse de sa dis-

tance ; l’axe du tourbillon est la direction du courant, ^et les compo-

santes sont données par (23).