N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
E RNEST C ESÁRO
Démonstration élémentaire de la formule de Stirling
Nouvelles annales de mathématiques 3
esérie, tome 2 (1883), p. 43-46
<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1883_3_2__43_1>
© Nouvelles annales de mathématiques, 1883, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
DEMONSTRATION ÉLÉMENTAIRE DE LA FORMULE DE ST1RLING;
PAR M. ERNEST GESARO.
I.
on la
d'où
( i )
II.
Considérons 1 / / 'n y \ transforme
Calculons
_ _ 3 2
n 2 I "*"
'expression v3 / 3 \5 / 4 V / \2 1 \3 /
aisément en
i .
?«•
5
9
i n »
C ? / l" i . 2 . 3 . .
2 . 3 . . . n — —
. Nous avons (
\
. n
n
n
y*"
1 n — i) yi
2 AI — Î n 2 n — !
( 44
Or
2 î
n — i i 2 n — i 3 ( 2 A I — i )3 5 ( 2 A I — i )5
et, par suite,
in — 1 , n
si l'on pose
Un-\— 77
3 ( 2 A I — 1 ) - 5 ( 2 A ? — i )4
Donc
III. Afin de calculer Sw_i, étudions la série
M, - h W24 - M3 • • • •
On a
( 2 /£ — l )2 ( 2 // —
= ' 'f •
i2\ n — 1 n
On obtient, par addition,
Donc Sw__, tend vers une limite S, inférieure à — Les
12
termes étant positifs, on a (3) Sn_ , < S . On obtient de même
S — S„_, = un H- un+1 -+-...<
d'où
(4)
t12 n
( 4 5 )
Des inégalités (3) et (4) il résulte que l'on peut poser
~ „ 0
S S
B étant compris entre o et i.
IV. L'égalité ( 2 ) devient
/ ï ) „ = n — i H- S -
On en conclut
I - - « +
— — el~*e Substituant dans ( i ) , on obtient
( 5 ) 1 . 2 . 3 . . . / * = <
C étant la constante e1"8 à déterminer.
V. Soit
2 2 4 4 6 6 8 in
i n -4- - — /i
/ U i )~ T 3 3 5 5 7 7 * " 2/i —i Une transformation facile donne
Or, d'après la formule ( 5 ) , ( 1 . 2 . 3 . . . n)*=C*n*n
i . 2 . 3 . . . 2/i —C(2Ai)
Donc
V étant, comme 9, une fraction proprement dite.
Si n augmente indéfiniment
Mais, d'après la formule de Wallis,
Par conséquent C = SJZTZ.
VI. Donc, enfin, (6) i . 2 . 3 . . . n —s
