Démonstration élémentaire de la formule de Laplace

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Submitted on 1 Jan 1875

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Démonstration élémentaire de la formule de Laplace

G. Lippmann

To cite this version:

G. Lippmann. Démonstration élémentaire de la formule de Laplace. J. Phys. Theor. Appl., 1875, 4

(1), pp.332-333. �10.1051/jphystap:018750040033201�. �jpa-00237103�

332

des forces électromotrices ou différences de

potentiel

^{aux deux}

pôles

^d’une

pile,

^et que

j’ai employé plus

^{tard pour la détermina-}

tion des

capacités électriques

de ditl.~rents corps

(1 ),

^est

beaucoup plus simple

que l’électromètre ^de

Thomson,

^{mais sa}

simplicité

même ^en limite

beaucoup plus l’emploi.

^Son

principal

^inconyé-

nient est que la

pile

que l’on

emploie

pour ^le

charger

^{est loin de}

donner un

potentiel

constant : il

change

constamment, ^{et entre de}

grandes limites,

^{avec le} temps ^{et la}

température. L’appareil

^sinl-

plifié

^{sera donc} avantageux ^{toutes les} fois que l’on fera l’une

après

l’autre deux

expériences comparatives,

donnant des nombres dont le rapport ^soit

indépendant

^{de la valeur du}

potentiel

auxiliaire.

C’est ce

qui ^arrive,

par

exemple, quand

^on détermine la

capacité électrique

^d’un corps ^en le

comparant à

^{un autre} corps de

capacité

connue.

Au

contraire,

^{dans des}

expériences ^suivies,

^{comme les études}

d’électricité

atmosphérique,

^{il sera bon d’av oir recours à}

l’appareil complet,

^dans

lequel le potentiel

auxiliaire est sans cesse ramené à

une valeur constante. Ce dernier

présente

encore une

sécurité,

^le

moment de torsion ne

changeant jamais

^{avec une}

suspension bifilaire,

^tandis

qu’on

^{n’en peut dire autant avec un fil}

métallique,

dont l’élasticité varie encore

après plusieurs

^années.

Quoi qu’il

^en

^soit,

l’instrument

simplifié

^{rend encore de très-}

grands

services dans les limites

indiquées.

^{Il sera encore très-}

commode comme instruiment

d’enseignement ;

^{son maniement}

faCllC et sa fornle réduite permettent ^de

l’employer

facilement dans les _cours, par la méthode des

projections,

^pour démontrer d’une manière nouvelle et

simple

^{bien des lois de} l’électricité

statique.

DÉMONSTRATION ÉLÉMENTAIRE DE LA FORMULE DE LAPLACE;

PAR M. G. LIPPMANN.

On peut démontrer d’une ^manière

simple

^que

l’équation

est satisfaite _pour tout élénlent d’une surface

liquide

^en

équilibre :

(’ ~ Annales de l’École 1!’~rmale supérieure, ^{t. Ili,} p. 26 ^{c et} 399.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018750040033201

333 p

désigne

^la

pression

^{normale en un}

point rapportée

^{à l’unité de}

surface;

^{R et R’ sont les} rayons ^de courburc

principaux

^{en ce}

point; A

^{est un} coefficient

numériques

^constant, c’est-à-dire le même en tous les

points

^{de la surface. On}

l’appelle

^constante

capil-

laire ou tension

supeljicielle.

Considérons un élément

rectangulaire découpé

^sur la surface _par quatre

plans

^normaux infiniinent

voisins,

^{et écrivons} que ^toutes les forces

qui agissent

^{sur cet élément ont une} résultante normale

égale

^{à zéro. Soient e et e’ les côtés du}

rectangle;

^la

pression

^noir-

male

qu’il

^{subit est} p ce’. Soient R et R’ les _{rayons de} courbure (les côtés ^c et

-o;

soient ce et x’ les

angles

^sous

lesquels

^{ces côtés sont}

vus de leurs centres de courbure

respectifs ;

^{on a}

La

pression

^{normale a donc} pour

expression /> R a R’

^{a’. D’autre} part les forces que l’élément subit le

long

^{du coté Q ont une résultante}

qu’on

peut

représenter

par ^A,7 =-= _B"Ra, résultante normale à ~ et

tangente ^{à la}

surface;

^la

projection

^{de cette force sur la normale}

élevée sur l’éléinent de surface en son milieu est

Le second côté

parallèle a

^fournit

également

^une composante ^nor-

.

male

égale

^à

AR~ 2013;la

^{somme des deux} composantes ^est ARa’.

2

De même les deux côtés a’ fournissent deux

projections no1-niales,

dont la somme est AE!,z’,x. La somme de toutes ces

projections

^sur

la normale à la surface devant être

nulle,

^on a, ^{cm tenant} coinpte

de leurs

directions,

ou, ^en divisant par

RE!

^{et en} faisant passer les deux derniers

termes dans le second

meiiibre,

ce

qu’il

fallait démontrer

( 1 ).

~ 1 ) On sait que ^{la somme}

(Ii -,- ¡f,) a la

^méme valeur pour deux plans ^normaux perpendiculaires ^{entre eux} quelconques, ^et pour ^ceux qui correspondent ^aux rayons de courbure principaux.