Sup PCSI1 - Exercices de physique Equations dimensionnelles
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Equations dimensionnelles
1. Homogénéité dimensionnelle :
Des erreurs se sont glissées dans les résultats énoncés ci-après. Les localiser et proposer une expression vraisemblable.
a) Mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur :
Le projectile est lancé avec une vitesse de norme vo, faisant un angle α avec l’horizontale, dans le champ de pesanteur d’intensité g = 9,8 m.s-2. On définit le système d’axe (O, x, z) repérant le mouvement.
L’équation paramétrée de la trajectoire s’écrit sous forme du système : {x = vo cosα.t ; z = -gt/2 + vo sinα.t}
En éliminant le temps entre ces deux équations, on obtient l’équation cartésienne : z = -gx² /(vo.cos²α) +x.tanα
b) La position algébrique p’ de l’image d’un objet de position algébrique p donnée par une lentille de focale f’ répond à : p’ = (p + f’)/ pf’.
c) La troisième loi de Kepler relie la période T de révolution d’une planète au demi grand-axe a de son orbite selon l’expression a3/ T² = 4.π² / (G.M) où G est la constante universelle de gravitation et M la masse du centre attracteur.
2. Energies :
On montrera que les expressions d'énergies données ci-après ont pour dimension : [E] = L².M.T-² Travail d'une force, faisant un angle θ avec le vecteur déplacement de longueur L : W = F.L cosθ ; Energie potentielle de pesanteur : Ep = mgz ;
Energie cinétique en mécanique classique K = 1/2 mv² ;
Energie mécanique totale en mécanique relativiste : E= γmc², avec ߛ = ଵ
ටଵିೡ²² , pour une particule de vitesse v et en notant c = 3,0.108 m.s-1 la vitesse de la lumière dans le vide
Energie Joule dissipée sous forme de chaleur dans une résistance : W = Ri²t ; 3. Coefficient de viscosité et force de frottement :
L'expérience montre que la force de frottement F subie par une sphère plongée dans un fluide dépend de : - η, coefficient de viscosité, caractéristique du fluide considéré, [η] = L-1.M.T-1
- r : le rayon de la sphère,
- v : la vitesse relative entre la sphère et le fluide.
En supposant que F s'exprime sous la forme : F = k.ηx.ry.vz , trouver l'expression de F.
R : F = K.η.r.v
4. Vibration d'une goutte d'eau.
La fréquence de vibration d'une goutte d'eau va dépendre de plusieurs paramètres. On supposera que la tension superficielle est le facteur prédominant dans la cohésion de la goutte; par conséquent, les facteurs intervenant dans l'expression de la fréquence de vibration f seront :
R, le rayon de la goutte;
ρ, la masse volumique, pour tenir compte de l'inertie;
A, la constante intervenant dans l'expression de la force due à la tension superficielle (la dimension de A est celle d'une force par unité de longueur).
On écrira donc : f = k1 .Ra .ρb .Ac ; k1 est ici une constante sans dimension, a, b et c sont les exposants de R, ρ et A ; en déduire les valeurs de a, b et c.
5. Vibration d'une étoile : modèle de Lord Rayleigh (1915).
La cohésion est assurée ici par les forces de gravitation. On s'attend donc à devoir faire intervenir : R, le rayon de l'étoile ; ρ la masse volumique;
G, la constante intervenant dans la force de gravitation entre deux masses.
Donner l'expression de la fréquence de vibration f en fonction de R, ρ et G : f = k2 . Ra .ρb .Gc, sans expliciter la constante sans dimension k2.
Sachant que la valeur de G est connue, quelles données peut-on obtenir à partir de la fréquence de vibration ?
