Nous allons calculer la section efficace de diffusion d’un ´ electron relativiste par une charge fixe Z |e| plac´ ee ` a l’origine des coordonn´ ees, en traitant le champ coulombien comme une perturbation

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DEA de Physique Quantique 21 janvier 2005 Th´ eorie des Champs

TD n

^o

6 : Diffusion d’un ´ electron de Dirac par un champ coulombien

Nous allons calculer la section efficace de diffusion d’un ´ electron relativiste par une charge fixe Z |e| plac´ ee ` a l’origine des coordonn´ ees, en traitant le champ coulombien comme une perturbation

`

a l’hamiltonien de Dirac.

1 Rappel sur les ondes planes de Dirac

• Soit Λ la transformation sp´ eciale de Lorentz qui donne une impulsion ~ p ` a une particule de masse m (point de vue actif). Montrer que dans la repr´ esentation engendr´ ee par les spineurs de Dirac, cette transformation s’´ ecrit :

S(Λ) = p /γ

⁰

+ m

p

2m(p

⁰

+ m) o` u p

⁰

= +

p

~

p

²

+ m

²

. on v´ erifiera que S(Λ)

⁻¹

= √

^γ⁰^p^/+m

2m(p⁰+m)

• Les solutions d’´ energies positives (respectivement n´ egatives) sont

ψ

_~_p,σ⁽⁺⁾

(x) = u(~ p, σ) e

^−ipx

resp. ψ

_−~⁽⁻⁾_p,σ

(x) = v(~ p, σ) e

^ipx

Montrer que

u(~ p, σ) = p / + m

p

2m(p

⁰

+ m)

ξ

_σ

0 et v(~ p, σ) = −p / + m

p

2m(p

⁰

+ m)

0 ξ

_σ

o` u ξ

_σ

est un spineur ` a deux composantes.

• Normalisation dans une boˆıte de volume V

Montrer que (p / + m)γ

⁰

(p / + m) = 2p

⁰

(p / + m). En d´ eduire la constante de normalisation N des ondes planes N u(~ p, σ) e

^i~^p·~^x

.

2 Diffusion par un potentiel coulombien

Expression de l’amplitude de transition

Rappel : si le hamiltonien s’´ ecrit sous la forme H = H

₀

+ W (t), o` u W (t) est une petite perturbation s’annulant pour t → ±∞, et si |ii et |f i sont des ´ etats propres de H

₀

, alors l’amplitude de transition entre |ii et |f i s’´ ecrit, au premier ordre en W (t),

S

_{f i}⁽¹⁾

= −i

Z +∞

−∞

dt hf |W

_I

(t)|ii.

o` u W

I

(t) = e

^iH⁰^t

W (t) e

^−iH⁰^t

est l’op´ erateur en repr´ esentation d’interaction. En prenant pour |ii (respectivement |f i) une onde plane de Dirac d’impulsion ~ p

i

(~ p

_f

) et de spin s

i

(s

_f

) normalis´ ee

1

(2)

`

a l’unit´ e dans un volume V , et pour W la perturbation cr´ e´ ee par un champ ´ electromagn´ etique ext´ erieur A

^µ

(x), montrer que l’on obtient

S

_{f i}⁽¹⁾

= −ie V

m

p

E

i

E

_f

Z

d

⁴

x u ¯ (~ p

_f

, s

_f

) γ

^µ

A

_µ

(x)u (~ p

_i

, s

_i

) e

ⁱ

(

^pf−pi

)

^x

.

Taux de probabilit´ e de transition

Dans le cas o` u le champ A

^µ

(x) est celui cr´ e´ e par une charge fixe Z |e| plac´ ee ` a l’origine des coordonn´ ees, montrer que le taux de probabilit´ e de transition vers l’´ etat |f i est

Γ

_{f i}

= Z

²

e

⁴

V

²

m

²

E

i

E

f

1 ~ q

⁴

¯

u(~ p

_f

, s

_f

)γ

⁰

u(~ p

_i

, s

_i

)

2

2πδ(E

_f

− E

_i

) o` u ~ q = ~ p

_f

− ~ p

_i

.

Indication :

pour calculer la probabilit´ e de transition P

_{f i}

= |S

_{f i}⁽¹⁾

|

²

de | i i vers |f i on r´ egularisera l’int´ egrale temporelle en allumant la perturbation ` a un temps −T /2 et en l’´ eteignant ` a +T /2.

Section efficace polaris´ ee :

Calculer le flux incident (associ´ e ` a 1 particule d’impulsion ~ p dans une boˆıte de volume V ), puis le nombre d’´ etats finals dans un ´ el´ ement de volume d

³

p

_f

de l’espace des impulsions. En d´ eduire que la section efficace de diffusion dans l’angle solide dΩ vaut

dσ

dΩ = 4Z

²

α

²

m

²

~ q

⁴

u(~ ¯ p

_f

, s

_f

)γ

⁰

u(~ p

_i

, s

_i

)

2

o` u α = e

²

/(4π).

Rappel :

La section efficace diff´ erentielle est d´ efinie comme :

^dσ_dΩ

δΩ =

taux de transition versδΩ

flux de probabilit´e incident

. Section efficace non polaris´ ee :

Si les spins ne sont pas mesur´ es, il convient de sommer l’expression pr´ ec´ edente sur les s

_f

(on d´ etecte indiff´ eremment les deux ´ etats de spin pour la particule sortante) et de la moyenner sur les s

i

(on ne connaˆıt pas le spin de la particule incidente). Sachant que le projecteur sur les ´ etats d’´ energie positive est

P

s

u(~ p, s)¯ u(~ p, s) =

^p^/+m_2m

v´ erifier que

X

si,sf

u(~ ¯ p

f

, s

f

)γ

⁰

u(~ p

i

, s

i

)

2

= Tr

γ

⁰

p /

i

+ m

2m γ

⁰

p /

_f

+ m 2m

Effectuer le calcul de la trace et en d´ eduire la formule de Mott : dσ

dΩ = Z

²

α

²

4k~ pk

²

v

²

sin

⁴

(θ/2)

1 − v

²

sin

²

(θ/2) ,

θ ´ etant l’angle de d´ eviation et v la vitesse de la particule. Que retrouve-t-on ` a la limite non relativiste ? Qu’obtient-on si l’on remplace l’´ electron par un anti´ electron ?

2