G . On ne demande pas de placer le point CONTRÔLE N°4 seconde 6.

CONTRÔLE N°4 seconde 6.

Le vendredi 22 décembre 2017.

I. Sur la figure ci-contre, ABHC, BEFG et BCDE sont des parallélogrammes. De plus, GB BC .

Compléter les égalités : GB …E

AB CD EF

BC FG G….

CE GB ….F GF EB ...

II. On se place dans un repère orthonormal. Soient les points : A(4 ; 5), B(‒ 2 ; 1), C(0 ; 2) et D(3 ; 6).

1. Les points A, B et C sont-ils alignés ? Justifier.

2. Les droites (AB ) et ( C D) sont-elles paralléles ? Justifier.

3.

a. Calculer les coordonnées du milieu I de [AB ].

b. Calculer IA.

c. D est-il un point du cercle de centre I passant par A ? Que peut-on en déduire pour le triangle ABD ?

4. Déterminer les coordonnées du point E tel que ABEC soit un parallélogramme.

5. Déterminer les coordonnées du point P d intersection de la droite ( AB ) et de l axe des ordonnées.

III. A, B, C et D sont quatre points du plan. Sans faire de figure, à l aide de la relation de Chasles, simplifier :

1. u AB BC

2. w BC DA DC

IV. A, B et C sont trois points du plan non alignés. D et E sont les points tels que DA AC et CE AB . 1. Que peut -on dire d u quadri lat ère ABEC ? Pourquoi ?

2. Montrer que ADBE est un parallélogramme.

V. On donne la figure ci-dessous où ABCD est un parallélogramme:

1. Placer le point E tel que AE AB 2 BC . 2. Placer le point F tel que BF 1

2 AC CD . G est le point tel que GA 3 BG 2 AD . On ne demande pas de placer le point G.

3. En utilisant la relation de Chasles, montrer que BG = 1

2 AB AD .

4. Justifier alors que BG = 1

2 AB BC . 5.

VOUS POUVEZ TRAITER CETTE QUESTION MÊME SI VOUS N AVEZ PAS TRAITE LES PRECEDENTES.

On a AE AB 2 BC et BG = 1

2 AB BC . Prouver que les droites (AE) et (BG) sont parallèles.

CORRECTION DU CONTRÔLE N°4 seconde 6

I.

GB FE

AB CD EF AF BC FG GE

CE GB GF GF EB 0

II. On se place dans un repère orthonormal. Soient les points : A(4 ; 5), B(‒ 2 ; 1), C(0 ; 2) et D(3 ; 6).

1. AB  

 

1 5

donc AB  

 

AC  

 

2 5

donc AC  

 

.

6 ( 3) 18 et ( 4) ( 4) 16. Les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. AB  

 

4

et CD  

 

.

6 4 24 et 3 ( 4) 12. Les vecteurs AB et CD ne sont pas colinéaires donc les droites (AB) et (C D) ne sont pas parallèles.

3.

a. x

x

x

2

4 ( 2)

2 1 et y

y

y

2

5 1

2 3. Ainsi, I (1 3).

b. IA ( ( ^x

^x

)

( ^y

^y

)

) ^{) ( (4 1)}

^{(5 3)}

^{) ) 13 .}

c. ID ( ^x

x

)

( ^y

y

)

(3 1)

(6 3)

13 IA ID donc D est un point du cercle de centre I passant par A.

D est donc un point du cercle de diamètre [ AB ] donc le triangle ABD est rectangle en D.

D est-il un point du cercle de diamètre [AB ] ? 4. Soit E(x y ).

ABEC est un parallélogramme donc AB CE . AB  

 

4

et CE  

 

AB CE donc 6 x et 4 y 2 donc x 6 et y 2 Ainsi E ( 6 2).

5. P est un point de l axe des ordonnées donc P (x 0).

P est un point de la droite ( AB) donc AB et AP sont colinéaires.

AB  

 

4

et AP  

 

5

AB et AP sont colinéaires donc 6 ( 5) 4( x 4) donc 30 4 x 16

donc 4 x 14 donc x 7

2 . Ainsi P

 

 

0 III.

1. u AB BC AC .

2. w BC DA DC BC DA CD BC CD DA BD DA BA

IV.

1. CE AB donc ABEC est un parallélogramme.

2. ABEC est un parallélogramme donc BE AC . Or DA AC . Alors BE DA . Ainsi ADBE est un parallélogramme.

V.

1.

2.

3. G est le point tel que GA 3 BG 2 AD . a. GA 3 BG 2 AD

donc GB BA 3 BG 2 AD

donc BG 3 BG 2 AD BA

donc 2 BG AB 2 AD donc BG 1

2 AB AD

b. ABCD est un parallélogramme donc AD BC . Ainsi, BG = 1

2 AB BC . c. On a AE AB 2 BC et BG = 1

2 AB BC donc AE 2 BG .

Les vecteurs AE et BG sont colinéaires donc les droites (AE) et ( B G) sont parallèles.