A50247. Avec les voisins
Un nombre n, ajout´e aux deux entiers qui l’encadrent, donne un cube ; ce mˆeme nombre najout´e aux quatre entiers qui l’encadrent, donne un carr´e.
a) Montrez qu’il y a une infinit´e de nombresnayant ces propri´et´es.
b) Trouvez-en deux ayant le mˆeme nombre de chiffres.
Solution
a) Puisque 3nest un cube, sa racine est un multiple de 3, soit 3a, etn= 9a3. Alors 5n= 45a3 = 5a(3a)2 doit ˆetre un carr´e, 5a aussi, donc a= 5b2. Les nombres satisfaisant l’´enonc´e sont tous les nombres n = 1125 ·b6 avec b entier.
b) Pour que 1125·b6 et 1125·c6 aient le mˆeme nombre de chiffres, il est n´ecessaire (sib < c) que 10>(c/b)6.
Comme (4/3)6 < 10 < (3/2)6, on peut faire des essais avec c = b+ 1 et b≥3.
La plus petite paire de nombres ayant le mˆeme nombre de chiffres (8) est (17578125,52488000), obtenue pour b= 5.
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