Les pourcentages sont présents partout dans la vie courante. Par exemple, on calcule souvent le pourcentage des nitrates dans l'eau pour savoir si elle est consommable. Autre exemple, l'an passé 29 élèves de terminale 1 et 26 élèves de terminale 2 ont eu leur baccalauréat.
" - La classe de terminale 1 a obtenu de meilleurs résultats que la classe de terminale 2 !
- Je ne suis pas d'accord ! la terminale 1 présentait 35 élèves à l'examen alors que la terminale 2 n'en présentait que 31 ! " . Pour commenter ces affirmations, nous devons calculer la proportion d'élèves ayant réussi dans chacune des deux classes. Ainsi, dans la vie professionnelle, comme dans la vie courante, nous sommes sans cesse confrontés à des données chiffrées où interviennent des pourcentages.
1 Définitions.
Une population est un ensemble faisant l'objet d'une étude statistique.
Les éléments qui constituent une population sont les individus de cette population.
Une sous-population d'une population E est une population dont tous les individus sont aussi des individus de la population E.
Le nombre d'individus de la population est l'effectif de la population.
Exemples : voir feuille annexe.
Soit E une population de référence d'effectif nE. Soit A une sous-population de E d'effectif nA.
On appelle proportion ( ou fréquence ) p d'une sous-population A dans une population E, le nombre réel p tel
que p =
E de éléments d'
nombre
A de éléments d'
nombre =
E A
n n
Une proportion peut s'écrire sous forme fractionnaire, sous forme décimale ou sous forme de pourcentage.
Propriétés :
Une proportion est un nombre réel compris entre 0 et 1.
L'effectif d'une sous-population A d'une population E est un nombre positif et inférieur ou égal à l'effectif de la population E.
Exemples : voir feuille annexe.
E1 Savoir calculer une proportion.
N ° 1
Dans une classe de première STG de 35 élèves, 9 élèves font du ski.
Calculer la proportion, notée p d'élèves de la classe qui font du ski.
Ecrire p sous forme d'une fraction, puis donner sa valeur décimale arrondie à 10-3 près et en déduire une valeur approchée de p écrite sous forme de pourcentage.
N ° 2
Dans une usine, 90 des 143 employés sont en grève.
Calculer le taux de grévistes, c'est-à-dire la proportion des personnes en grève dans la population des employés.
Donner une valeur approchée du résultat sous forme de pourcentage.
N ° 3
En 2001, 114 500 salariés ont travaillé au moins 500 heures dans l'année pour des entreprises relevant de l'activité du spectacle.
Ils ne représentent qu'un tiers des 362 000 personnes ayant été salariées, ne serait-ce qu'une heure, dans ce secteur. La valeur " un tiers " est-elle une " bonne " valeur approchée de la proportion évoquée dans l'énoncé ? E2 Savoir calculer un effectif.
N ° 4
Dans un village, 697 habitants vivent de l'agriculture, ce qui représente 82 % de la population.
Combien y a-t-il d'habitants dans ce village ? N ° 5
Entendu à la radio en juillet 2004 :
" 16 % des Français ne partent pas en vacances, ce qui représente dix millions de personnes ".
D'après cette information, quel est l'effectif de la population française ? Ce nombre est-il réaliste ? N ° 6
Dans un lycée, le nombre d'élèves en première STG1 est égal à 26, ce qui représente environ 21,14 % du nombre d'élèves de première STG.
Calculer le nombre d'élèves de première STG dans le lycée.
E3 Comparaison d'effectifs et de proportions.
N ° 7
Agnès a vu au cinéma 7 longs métrages du cinéaste Stanley Kubrick parmi les 13 de sa filmographie tandis que Sarah en a visionné 6 de Charlie Chaplin parmi les 10 qu'il a réalisé.
Chacune estime être une cinéphile et mieux connaître son réalisateur préféré que l'autre ne connaît le sien.
1 ) Calculer la fréquence ( ou proportion ) de films de Stanley Kubrick visionnés par Agnès.
En donner une valeur décimale approchée à 10-2.
2 ) Calculer la fréquence ( ou proportion ) de films de Charlie Chaplin visionnés par Sarah.
En donner une valeur décimale approchée à 10-2.
3 ) Les effectifs et les proportions de chaque sous-population sont-ils rangés dans le même ordre ? Justifier la réponse donnée.
4 ) Qui d'Agnès ou de Sarah a vu davantage de films ?
5 ) Qui d'Agnès ou de Sarah a vu le plus grand nombre de films de son cinéaste préféré ? N ° 8
Dans un groupe de 85 personnes, 12 mesurent moins de 1,65 m et 15 mesurent plus de 1,80 m.
Calculer la proportion des personnes du groupe qui mesurent moins de 1,65 m et la proportion des personnes du groupe qui mesurent plus de 1,80 m.
Les proportions et les effectifs de ces sous-populations sont-ils rangés dans le même ordre ?
2 Comparaison de proportions, d'effectifs.
Lorsque deux sous-populations appartiennent à une même population de référence, alors leurs proportions et leurs effectifs sont rangés dans le même ordre.
Ce n'est pas toujours le cas si les deux sous-populations n'appartiennent pas à une même population de référence.
Exemple : dans le lycée A, il y a 55 % de filles, dans le lycée B, il y a 48 % de filles.
Y a t-il nécessairement plus de filles dans le lycée A ? Voir feuille annexe.
E4 Savoir comparer des proportions.
N ° 9
Il y a 28 lettres, dont 3 voyelles, dans l'alphabet arabe.
Il y a 26 lettres, dont 6 voyelles, dans l'alphabet français.
Calculer la fréquence des voyelles dans chacun des alphabets.
Les fréquences et les effectifs des voyelles dans chacun des deux alphabets sont-ils rangés dans le même ordre ? N °10
Dans un immeuble, 20 % des appartements sont des studios et 30 % sont des F3.
Peut-on en déduire que, dans cet immeuble, le nombre de studios est inférieur au nombre de F3 ? E5 Activité préparatoire : réunion et intersection.
N ° 11
Sur 1000 personnes interrogées, 420 personnes ont déclaré posséder un ordinateur et 730 ont déclaré posséder un téléviseur ; parmi elles, 345 possèdent les deux.
Compléter le tableau suivant indiquant tous les résultats de ce sondage.
Ont un ordinateur N'ont pas d'ordinateur Total Ont un téléviseur
N'ont pas de téléviseur Total
On désigne par E la population ayant répondu à ce sondage et nE son effectif ;
A la sous-population des personnes qui possèdent un ordinateur et nA son effectif ; B la sous-population des personnes qui possèdent un téléviseur et nB son effectif ; On note A ∩ B la sous-population des personnes qui possèdent un ordinateur et un téléviseur et n A ∩ B son effectif.
On note A U B la sous-population des personnes qui possèdent un ordinateur ou un téléviseur ( c'est à dire qui possèdent l'un au moins des appareils ) et n A U B son effectif .
Donner chacun des effectifs de E, A, B, A ∩ B et AUB.
N ° 12 Le diagramme de Venn
Dans un club de 60 joueurs de cartes, 40 jouent au bridge, 28 au tarot et 10 à ces deux jeux.
Construire un diagramme résumant cette situation.
Calculer la proportion des membres de ce club qui jouent au bridge ou au tarot.
3 Proportion et réunion.
Soit E une population de référence.
Soient A et B deux sous-populations de E.
L'intersection des populations A et B notée A ∩ B est la sous-population de E constituée des individus appartenant à la fois à A et à B.
Cas particulier :
Deux sous-populations d'une même population de référence sont dites disjointes, si elles ne possèdent aucun individu commun.
La réunion des sous-populations A et B notée A U B est la sous-population de E constituée des individus appartenant à A ou à B ou aux deux à la fois.
Exemples : voir feuille annexe.
Soient nA, nB, n A ∩ B et n AUB les effectifs respectifs des sous-populations A, B, A ∩ B et A U B.
Alors n AUB = nA + nB − n A ∩ B Cas particulier :
Si A et B sont disjointes, alors n A ∩ B = 0 et n AUB = nA + nB
Soient pA, pB, p A ∩ B et p AUB les proportions respectives des sous-populations A, B, A∩ B et A U B.
Alors p AUB = pA + pB − p A ∩ B Cas particulier :
Si A et B sont disjointes, alors p A ∩ B = 0 et p AUB = pA + pB
Exemple : à la suite de plaintes de consommateurs, un fabricant d'appareils ménagers inspecte les 500 derniers appareils qui viennent d'être fabriqués. Il constate que 25 ont un défaut a, 19 ont un défaut b.
Parmi les appareils défectueux, 5 ont à la fois les défauts a et b, les autres n'ont qu'un seul défaut.
Déterminer la proportion d'appareils inspectés ayant le défaut a ou le défaut b. Voir feuille annexe.
E6 Savoir calculer la proportion de la réunion.
N ° 13
Un club sportif propose plusieurs activités, entre autres le judo et le yoga.
Parmi les 90 membres du club, 25 pratiquent le judo, 31 pratiquent le yoga et 7 pratiquent les deux.
Calculer la proportion des membres du club qui pratiquent le judo ou le yoga.
N ° 14
Dans un congrès international, 87 % des participants comprennent l'anglais ou le français.
En particulier, 82 % des participants comprennent l'anglais et 72 % des participants comprennent le français.
Calculer la proportion des participants qui comprennent l'anglais et le français.
4 Proportions échelonnées.
Soient A, E, et F des populations telles que A soit une sous-population de E et E une sous-population de F.
Soit p la proportion de A dans E.
Soit p ' la proportion de E dans F.
Soit p '' la proportion de A dans F.
Alors p '' = p × p '.
Démonstration : voir feuille annexe.
Exemple : lors d'une élection, 70 % des électeurs inscrits ont effectivement voté.
Un candidat monsieur Martin a obtenu 38 % des voix des électeurs qui ont voté.
Calculons la proportion des électeurs qui ont voté pour ce candidat parmi les électeurs inscrits.
Voir feuille annexe.
E7 Savoir calculer des proportions à l'aide des proportions échelonnées.
N ° 15
Une enquête auprès d'élèves fumeurs montre que 90 % d'entre eux ont déjà essayer d'arrêter de fumer et que, parmi ces derniers, 60 % ont réussi à s'arrêter de fumer plus d'un mois.
Calculer la proportion d'élèves ayant réussi à s'arrêter plus d'un mois parmi les élèves fumeurs interrogés.
N ° 16
Une étude menée sur les groupes sanguins dans une population a établi que 42 % des individus de la population sont du groupe O et que, en particulier, 36 % sont du groupe O avec le rhésus + noté O+.
Calculer le fréquence des individus du groupe O+ dans la population des individus du groupe O.
N ° 17
Une enquête auprès d'un groupe de personnes a établi que 82 % d'entre elles ont au moins 18 ans et que 42 % d'entre elles sont titulaires du permis de conduire automobile. Calculer la proportion de personnes titulaires du permis de conduire automobile parmi les personnes du groupe ayant au moins 18 ans sous forme de pourcentage.
