Corrigé du DS du 06/02/18
Exercice 1 : Voir le cours, c’est le corollaire de Gauss énoncé différemment…
Exercice 2 : Partie A
1. ݆ = 3 et ݉ = 12 donc 3 × 12 + 12 × 37 = 480
Pour une personne née le 3 décembre (c’est Prince !), le programme de calcul (A) donne effectivement le nombre 480.
2. a. Pour un spectateur donné, on note j le numéro de son jour de naissance, m celui de son mois de naissance et z le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (A).
ݖ = 12݆ + 37݉ = 12݆ + 36݉ + ݉ = 12ሺ݆ + 3݉ሻ + ݉ ≡ ݉[12]
b. ݖ = 278 = 12 × 23 + 2 ≡ 2[12] donc ݉ = 2.
Ainsi 12݆ = ݖ − 37݉ = 278 − 37 × 2 = 204 = 12 × 17 donc ݆ = 17.
Conclusion : la date de l’anniversaire d’un spectateur ayant obtenu le nombre 278 en appliquant le programme de calcul (A) est le 17 février (le spectateur est Simon !).
Partie B
1. Première méthode :
Variables : j et m sont des entiers naturels Traitement : Pour m allant de 1 à 12 faire : Pour j allant de 1 à 31 faire : z prend la valeur 12j+31m
Si z=309 alors afficher j et m Fin Si
Afficher z Fin Pour Fin Pour 2. Deuxième méthode :
a. z = 12j + 31m = 12j + 24m + 7m = 12ሺj + 2mሻ + 7m ≡ 7m[12]
b.
m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7m 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84
Reste de 7m
modulo 12 7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5 0
c. ݖ = 309 ≡ 9[12] donc 7݉ ≡ 9[12]
Or, d’après le tableau précédent, 7݉ ≡ 9[12] pour ݉ = 3.
12݆ + 31݉ = 309 ⇔ 12݆ + 93 = 309 ⇔ 12݆ = 216 ⇔ ݆ = 18
Conclusion : la date de l’anniversaire d’une spectatrice ayant obtenu le nombre 309 avec le programme de calcul (B) est le 18 mars (la spectatrice est Nellie !)
3. Troisième méthode :
a. 12 × ሺ−13ሻ + 31 × 15 = 273 donc le couple (−13 ; 15) est solution de l’équation 12ݔ + 31ݕ = 309.
b. Si un couple d’entiers relatifs ሺݔ; ݕሻ est solution de l’équation 12ݔ + 31ݕ = 309, alors 12ݔ + 31ݕ = 309 = 12 × ሺ−13ሻ + 31 × 15 ⇔ 12ݔ + 12 × 13 = 31 × 15 − 31ݕ
⇔ 12ሺݔ + 13ሻ = 31ሺ15 − ݕሻ
c. Résoudre 12ݔ + 31ݕ = 309 revient à résoudre 12ሺݔ + 13ሻ = 31ሺ15 − ݕሻ (*)
12 divise 31ሺ15 − ݕሻ et 12 et 31 sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss, 12 divise 15 − ݕ : ainsi 15 − ݕ = 12݇ où ݇ ∈ ℤ et donc ݕ = 15 − 12݇
On remplace dans l’égalité (*) : 12ሺݔ + 13ሻ = 31 × 12݇ ⇔ ݔ + 13 = 31݇ ⇔ ݔ = 31݇ − 13
L’ensemble de tous les couples d’entiers relatifs ሺݔ; ݕሻ, solutions de l’équation 12ݔ + 31ݕ = 309 est : ሼሺ31݇ − 13; 15 − 12݇ሻ où ݇ ∈ ℤ ሽ
d. 1 ≤ ݕ ≤ 12 ⇔ 1 ≤ 15 − 12݇ ≤ 12 ⇔ −14 ≤ −12݇ ≤ −3 ⇔ ଷ
ଵଶ≤ ݇ ≤ଵସ
ଵଶ ⇒ ݇ = 1 car ݇ est un entier.
On en déduit que ݕ = 15 − 12 × 1 = 3 puis que ݔ = 31 × 1 − 13 = 18
Conclusion : il existe un unique couple d’entiers relatifs ሺݔ; ݕሻ tel que 1 ≤ ݕ ≤ 12 : c’est le couple (18;3) La date d’anniversaire d’une spectatrice ayant obtenu le nombre 309 avec le programme de calcul (B) est donc le 15 mars (c’est toujours Nellie !).
