NOM : ENONCE ET FEUILLE-REPONSE Respecter les consignes Exercice
Soit les fonctions définies sur R telles que, pour tout t, f(t) = e-2t(α cos 3t + β sin 3t) + 1 t 1 3
e cos3t sin 3t
10 40 40
− + + où α et β sont
des constantes réelles.
Ces fonctions sont les solutions d’une équation différentielle, notée (G), du second ordre, linéaire y’’ + ay’ + by = g(t) (a et b constantes réelles).
1) Ecrire l’équation différentielle du second ordre, linéaire, à coefficients constants, homogène (sans second membre) associée à (G).
Les fonctions définies sur R qui, à t, associent e-2t(α cos 3t + β sin 3t) + 1 t 10e
− (α et β constantes réelles), sont alors solutions d’une équation différentielle pouvant s’écrire : y’’ + ay’ + by = g1(t) (notée (1)).
2) a) Ecrire une solution
particulière de (1). b) Ecrire g1(t).
Les fonctions définies sur R qui, à t, associent e-2t(α cos 3t + β sin 3t) + 1 3 cos3t sin 3t
40 +40 (α et β constantes réelles), sont solutions d’une équation différentielle pouvant s’écrire : y’’ + ay’ + by = A cos 3t + B sin 3t (notée (2)) où A et B sont des constantes réelles.
3) a) Ecrire une solution particulière de (2).
b) Ecrire les valeurs numériques de A et de B.
4) Ecrire l’équation (G).
Eléments pour un corrigé
Exercice
Soit les fonctions définies sur R telles que, pour tout t, f(t) = e-2t(α cos 3t + β sin 3t) + 1e t 1 cos3t 3 sin 3t
10 40 40
− + + où α et β sont
des constantes réelles.
Ces fonctions sont les solutions d’une équation différentielle, notée (G), du second ordre, linéaire y’’ + ay’ + by = g(t) (a et b constantes réelles).
1) Ecrire l’équation différentielle du second ordre, linéaire, à coefficients
constants, homogène (sans second membre) associée à (G). y’’ + 4 y’ + 13 y = 0 Les fonctions définies sur R qui, à t, associent e-2t(α cos 3t + β sin 3t) + 1 t
10e
− (α et β constantes réelles), sont alors solutions d’une équation différentielle pouvant s’écrire : y’’ + ay’ + by = g1(t) (notée (1)).
2) a) Ecrire une solution
particulière de (1). Par exemple : 1 t 10e
− b) Ecrire g1(t). g1(t) = e-t
Les fonctions définies sur R qui, à t, associent e-2t(α cos 3t + β sin 3t) + 1 3 cos3t sin 3t
40 +40 (α et β constantes réelles), sont solutions d’une équation différentielle pouvant s’écrire : y’’ + ay’ + by = A cos 3t + B sin 3t (notée (2)) où A et B sont des constantes réelles.
3) a) Ecrire une solution
particulière de (2). Par exemple : 1 3 cos3t sin 3t
40 +40 b) Ecrire les valeurs
numériques de A et de B. A = 1 et B = 0
4) Ecrire l’équation (G). y’’ + 4 y’ + 13 y = e-t + cos 3t
