Licence Economie-Gestion 1`ere Ann´ee 2016-2017 Math´ematiques appliqu´ees
Exercices - s´erie n◦4
Exercice 1 Soient A=
1 0 3
−2 4 1
; B =
2 3
−1 4 0 2
; C =
−1 2 3
1 −2 4
; D=
1 0
−2 3 4 −1
.
Effectuer, si elles sont possibles, les op´erations suivantes :
2A−B ; 4A−C ; 3B−2D; C−D, tB−C, t(B+D), tB+ tD.
Exercice 2 On consid`ere les matrices suivantes : A=
1 2 3 0 −1 2
; B =
2 3 1
; C =
0 3
1 4
2 −1
.
a)Calculer, s’ils ont un sens, les produits suivants : AB; BA ; AC ; CA; BC ; CB.
(Pr´evoir l’ordre de la matrice produit).
b) Calculer : t(AB) ; t(CA) ; tCtA.Remarque ?
Exercice 3 Soit A=
1 0 1 2 1 4 0 2 4
; B =
1 2 0
0 1 −1
2 1 0
; C =
−1 2 1
−2 4 2 1 −2 −1
.
a)Calculer AC.
b) Calculer AB , BA.
c) CalculerA2 ; B2 ; A =A2+ 2AB+B2.
d) Calculer A+B ; A = (A+B)2.Comparer A et A.
Exercice 4 Soit A =
1 1 1 1
a)Calculer A2 , A3 et en d´eduireAn pour toutn∈IN∗.
b) Mˆeme question pourB =
1 1 1 1 1 1 1 1 1
.
Exercice 5 Soit : A=
2 1 −1
1 2 1
−2 2 1
, et I =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.
a)Calculer A2,et v´erifier que : A2−2A= 3I.
b) En d´eduire queA est inversible, d´eterminerA−1.
Exercice 6 On consid`ere les matricesJ =
0 0 1 0 1 0 1 0 0
, et I =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.
a)Calculer J2 et trouver une relation liantJ2 et I.En d´eduireJn pour toutn∈IN∗. b) On consid`ere d´esormaisA =I+J .
A l’aide du a), trouver une relation liantAetA2.En d´eduireAn pour toutn∈IN∗.
Exercice 7 Soit : A=
1 −2 −3 2 −4 −6
−1 2 3
et I =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.
a)Calculer A2.En d´eduire que An’est pas inversible.
b) On pose B =A+I.A l’aide de a), trouver une relation liantB2, B etI.
En d´eduire que B est inversible et d´eterminer B−1.
c) Pourn∈IN∗,d´eterminer l’expression g´en´erale de Bn en fonction de I, net A.
