Série n°6

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Série n°6 d’exercices sur les suites numériques

Exercice 1

1) On considère une suite arithmétique

 

Vn de raison r2 et de premier terme V₀3 . a) Calculer V en fonction de n. _n

b) Calculer S_n   V₀ V₁ .... V_n1V_n en fonction de n .

2) Calculer ⁿ

n

lim V

 n

 

 

  puis ₂ⁿ

n

lim S

 n

 

 

  3) On considère la suite

 

Un telle que :

2 1

2

n n

n

V U U

 

 a) Calculer _n

nlim U



b) Calculer :

0 1

1 1 1

2 2 2

n

n

S ...

U U U

    

  

c) Calculer ₃ⁿ

n

lim S

 n

 

 

  . Exercice 2

On considère la suite numérique

 

Un définie par : 3

1

n

Un

 n



1) Calculer U ; ₀ U ; ₁ U ; ₂ U . ₃

2) Calculer U_n1U_n,en déduire les variations de  Un

3) Montrer que :



 n IN^



; nUn . Exercice 3

1)

 

Vn est une suite géométrique de raisonq2 , avec V₀7 .

a) Calculer V en fonction de n. _n

b) Calculer S_n    V₀ V₁ .... V_n1V_n. c) Calculer _n

nlim V

 puis _n

nlim S



2) On considère la suite

 

Un telle que : 3

n n

n

V U

 U



a) Calculer _n

nlim U



b) .Calculer :

0 1

1 1 1

3 3 3

n

n

S ...

U U U

    

  

3) Calculer puis

2

n n n

lim S

 n

  

 

 

Exercice 4

1)

 

Vn est une suite géométrique de raison ² q5, avec ₄ ⁴

V 625 .

a) Calculer V puis ₀ V en fonction de n. _n b) Calculer A V ₁₀V₁₁ .... V₉₉V₁₀₀ c) Calculer S_n    V₀ V₁ .... V_n1V_n

2) On considère la suite

 

Un telle que : ¹ 2

n n

n

V U U

 

 On pose:

0 1

1 1 1

2 2 2

n

n

S ...

U U U

    

  

a) Montrer que : p IN : ^{1 1}



¹



2 3 ^p

p

U  V

 .

b) Montrer que :

1 1 2 2 5 1 1 2

4 5

n

n n

U

   

  

   

 

et que

^{7 1 2}

3 36 18 5

n n

S  n      e c) Calculer _n

nlim U

 puis

n 3

n

lim S n



   

 

 . Exercice 5

Soit la suite

 

Un définie par :

0

1

1 2

n n

n

U

U U n IN

 U

 

   

 



a) Calculer U et ₁ U ₂

b) Montrer que la suite

 

Un n’est ni arithmétique ni géométrique

2) a) Montrer que :



 n IN



Un ⁰

b) Montrer que la suite

 

Un est décroissante c) En déduire que la suite

 

Un est convergente et calculer sa limite

3) Soit la suite

 

Vn définie par : 1

n n

n

V U n IN

 U  



a) Calculer V et montrer que ₀

 

Vn est une suite géométrique.

b) Déterminer la limite de la suite

 

Vn

c) Montrer que : ¹₁

2 1

n n

U  _  n IN



d) Retrouver la limite de la suite

 

Un