Série 6

EPFL 27 novembre 2006 Algèbre linéaire

1ère année 2006-2007

Série 6

L’exercice 6 est à rendre le 4 décembre au début de la séance d’exercices.

Exercice 1 Montrer que les vecteurs x₁ = (0,1,1), x₂ = (1,0,1) et x₃ = (1,1,0) forment une base de R³. Trouver dans cette base les composantes du vecteur x= (1,1,1).

Exercice 2 Déterminer une base de {(x, y, z)∈R³ | x+y+z = 0}.

Exercice 3 Soient v~₁ = (1,2,3,4), ~v₂ = (2,2,2,6), ~v₃ = (0,2,4,4), ~v₄ = (1,0,−1,2), et

~

v5 = (2,3,0,1) dans R⁴. Soient F = Span{v~1, ~v2, ~v3} et G = Span{v~4, ~v5}. Déterminer une base des sous-espaces F ∩G, F, G et F +G.

Exercice 4 Dans l’espace vectoriel P₅(F) des polynômes de degré inférieur ou égal à 5, on définit les ensembles :

E1 ={P ∈ P5(F)|P(0) = 0}

E₂ ={P ∈ P₅(F)|x² + 1 divise P}

1. Montrer que E₁ et E₂ sont des sous-espaces vectoriels de P₅(F).

2. Déterminer des bases des sous-espaces vectoriels E₁, E₂ et E₁∩E₂.

Exercice 5 Déterminer une base du sous-espace vectoriel de F(]−1,1[,R) engendré par les vecteurs f₁, f₂, f₃ et f₄ où, pour tout x de ]−1,1[ :

f₁(x) =

r1−x

1 +x; f₂(x) =

r1 +x

1−x; f₃(x) = 1

√1−x²; f₄(x) = x

√1−x².

Exercice 6 On munit E = R^∗+×R de l’addition + : (a, b) + (a⁰, b⁰) = (aa⁰, b+b⁰), et de la multiplication par un réel suivante : (∀λ∈R) ∀(a, b)∈E λ.(a, b) = (a^λ, λb).

1. Vérifier que (E,+, .) est un R-espace vectoriel.

2. Les ensembles suivants forment-ils des listes de vecteurs linéairement indépendants ?

{(1,0),(1,1)}? {(2,1),(8,3)}? {(2,1),(6,3)}?

3. Vérifier que l’ensembleb ={(2,0),(2,1)}est une base deE et déterminer les composantes du vecteur v = (x, y)∈E par rapport à la base b.