TD2. Fonctions analytiques.

Universit´e Pierre & Marie Curie Licence de Math´ematiques L3 LM367 – Analyse complexe 1

TD2. Fonctions analytiques.

Exercice 1. Montrer que

∞

X

i=1

∞

X

j=1

1

(i+j)^α <+∞si et seulement siα >2.

Exercice 2. Soit (cn)_n∈Nune suite de r´eels strictement positifs.

(a) Montrer que limn→+∞c

1

nn ≤limn→+∞

c_n+1 cn

. (b) En d´eduire que siL= lim

n→+∞

cn+1

c_n existe dans [0,+∞], alors lim

n→+∞(cn)¹ⁿ =L.

Exercice 3. Donner le rayon de convergence de la s´erie enti`ere X

n≥1

anzⁿ quand :

• an = logn;

• an = log(1 + sin(1/n)) ;

• a2p=α^2p eta2p+1=β^2p+1, 0< α < β;

• an = n!

nⁿ ;

• a_2p+1= 0 eta_2p= (−1)^pp!

(p+ sinp)^p.

Exercice 4. Montrer que si an = λnbn avec λn = O(n^α), α ∈ R, alors le rayon de convergence deX

anzⁿ est sup´erieur `a celui deX bnzⁿ.

Exercice 5.

(a) (Transformation d’Abel) Soient (u_n)_n∈Net (v_n)_n∈Ndeux suites de nombres complexes.

Pour n≥m∈N, on poseV_mⁿ=

n

X

i=m

v_i. Montrer que, pour n > m, on a

n

X

i=m

u_iv_i=

n−1

X

i=m

(u_i−u_i+1)V_mⁱ +u_nV_mⁿ.

(b) Soit (c_n)_n∈Nune suite d´ecroissante de r´eels positifs qui converge vers 0. Montrer que la s´erie X

c_nzⁿ converge si |z| ≤ 1 et z 6= 1(indication: utiliser la transformation d’Abel pour montrer que la s´erie v´erifie le crit`ere de Cauchy).

Exercice 6. Donner le d´eveloppement en s´erie enti`ere des fonctions analytiques suivantes au point demand´e et donner le rayon de convergence de la s´erie obtenue :

• f(z) = z

z²−2z−3 en 0;

• g(z) = 1

3−2z en 3;

• h(z) =e^z en 1.

Exercice 7. Montrer que l’expression f(z) =

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n (z−1)ⁿ d´efinit une fonction f v´erifiant l’´equatione^f(z)=z sur le disqueD(1,1).

1

2

Exercice 8.

(a) D´eterminer les parties discr`etes deCdans la liste suivante:

N, Z, Q, R, A={1/n, n∈N^∗}, A, A∪N^∗. (b) D´eterminer les composantes connexes d’une partie discr`ete deC.

(c) Montrer qu’un sous-ensemble discret et ferm´e de C intersecte chaque compact deC en un nombre fini de points. En d´eduire qu’un tel sous-ensemble est de cardinal (au plus) d´enombrable.

Exercice 9.

(a) D´eterminer les fonctions analytiques f sur D(0,1) qui v´erifient f(1/n) = 1/n² pour tout n∈N^∗.

(b) Soitf une fonction analytique surD(0,1). On suppose qu’il existe une suite de r´eels distinctsan dans [−1/2,1/2] tels quef(an)∈Rpour toutn. Montrer que pour tout z∈D(0,1),f(z) =f(z).

(c) On suppose de plus que (an) est d´ecroissante, converge vers 0 et v´erifief(a2p+1) = f(a2p)∈Rpour toutp. Montrer qu’alorsf est constante(on pourra raisonner sur la d´eriv´ee def).

Exercice 10. Soit X

n≥0

anzⁿ une s´erie enti`ere de rayon de convergence R et de somme

f(z). On se fixe un r´eel strictement positifr < R.

(a) Montrer que 1 2π

Z 2π

0

|f(re^iθ)|²dθ=

∞

X

n=0

|an|²r²ⁿ. (b) En d´eduire que, pour tout n∈ N, |a_n|rⁿ ≤max

|z|=r|f(z)|. Montrer que s’il y a ´egalit´e pour un entiern, alorsf(z) =a_nzⁿ pour tout|z|< R.

(c) Montrer que si|f|est maximal en 0, alorsf est constante.