TD d’analyse 7 : Fourier

Sorbonne Universit´e Pr´epa agreg 2019-20

TD d’analyse 7 : Fourier

Exercice 1. Soit f : R → R la fonction paire et 2π-p´eriodique d´efinie par f(x) =π−x pour x∈[0, π].

(a) Calculer la s´erie de Fourier def. (b) En d´eduire la valeur de

+∞

X

n=1

1 n² et

+∞

X

n=1

1 n⁴.

Exercice 2. Soit une fonction f :R → C, 2π-p´eriodique, de classeC¹ et telle que

Z _2π

0

f(t)dt= 0. D´emontrer l’in´egalit´e Z 2π

0

|f(t)|²dt≤ Z 2π

0

|f⁰(t)|²dt et caract´eriser le cas d’´egalit´e.

Exercice 3. Soit u0 : R→ R une fonction 2π-p´eriodique et de carr´e int´egrable sur [0,2π]. Prouver qu’il existe une unique fonction u:R^∗+×R→R telle que

— u est C^∞et v´erifie l’´equation de la chaleur ∂_tu−∂_xxu= 0 ;

— pour toutt >0,u(t, .) est 2π-p´eriodique ;

— u(t, .) converge versu₀ quand t→0, dansL²([0,2π]).

Exercice 4. Soit une fonction f :R→Cde la classe de Schwarz.

(a) Pour x ∈ R, on pose F(x) =

+∞

X

n=−∞

f(x+ 2πn). Montrer que cette formule d´efinit une fonction 2π-p´eriodique et de classeC^∞.

(b) Exprimer les coefficients de Fourier de F en fonction de la transform´ee de Fourier ˆf de f, d´efinie par

∀ξ ∈R, fˆ(ξ) = 1

√2π Z +∞

−∞

f(x)e^−ixξdx.

(c) En d´eduire la formule sommatoire de Poisson :

∀x∈R,

+∞

X

n=−∞

f(x+ 2πn) = 1

√ 2π

+∞

X

n=−∞

f(n)eˆ ^inx.

(d) D´emontrer la formule d’inversion de la transform´ee de Fourier `a l’aide de cette formule.

Indication : utiliser f(x) =g(x)e^−itx, o`u test un param`etre r´eel et g dans la classe de Schwarz.

1

2

Exercice 5.

(a) Calculer la transform´ee de Fourier de l’indicatrice de [−1,1].

(b) Que vaut Z

R

(sinx)² x² dx?

Exercice 6. Dans cet exercice, on note chz= e^z+e^−z

2 .

(a) Etant donn´e R > 0, soit γ_R un lacet param´etrant naturellement le bord de ΩR ={z∈C/|Re(z)|< R et 0<Im(z) < π},dans le sens direct. Pour tout r´eelt, calculer l’int´egrale

Z

γR

e^−itzdz (chz)².

(b) En d´eduire la transform´ee de Fourier dex7→1/(chx)².

Exercice 7. Soit f ∈L²(R).

(a) Montrer qu’il existe une unique fonctiony∈L²(R) telle que pour toutξ ∈R, ˆ

y(ξ) = f(ξ)ˆ 1 +ξ².

(b) Prouver que y v´erifie l’´equation −y⁰⁰+y=f au sens des distributions.

Exercice 8. (Polynˆomes de Hermite)

On va travailler dans l’espace de Hilbert H = L²(R, µ) associ´e `a la mesure de probabilit´eµ surRd´efinie par dµ(x) = e^−x2

√π dx. Pourn∈Net x∈R, on note h_n(x) =e^x2g⁽ⁿ⁾(x), o`u g(x) =e^−x2.

(a) Montrer que les fonctions hn sont polynˆomiales. D´eterminer leurs degr´es et coefficients dominants.

(b) Montrer que (h_n)n∈Nforme une famille orthogonale deHet calculer la norme λ_n de chaque ´el´ement h_n.

(c) On veut montrer que la famille (λ⁻¹_n hn)n∈N est une base hilbertienne deH.

(i) Pourf ∈H etx∈R, on noteψf(x) =f(x)e^−x2. Montrer que sa trans- form´ee de Fourier ψcf est bien d´efinie sur R et s’´etend en une fonction holomorphe surC.

(ii) Pour toute n∈ N, calculer la d´eriv´ee n-i`eme ψc<sub>f</sub><sup>(n)</sup>(0). En d´eduire que sif est orthogonale `a tous les polynˆomes, alors f est nulle.

(iii) Conclure.