MT 28 - Printemps 2011
Examen du 30 juin 2011: 8h00-10h00
On consid`ere une ligne ´electrique constitu´ee d’une r´ep´etition de cellules (xi, xi+1) de longueur h comprenant chacune une inductance L h et une capacit´e C hcomme sur le sch´ema o`u L et C sont deux constantes positives. Les inductances sont reli´ees entre elles en s´erie et chaque capacit´e est plac´ee entre un noeud xi du circuit et la masse. On note Vh(x, t) et Ih(x, t) la tension et l’intensit´e consid´er´ees comme des fonctions de la variable d’espacex de l’axe parall`ele `a la ligne de circuit et det la variable de temps. Dans une section (xi, xi+1) la tension d’entr´ee estVh(xi, t) et la tension de sortie estVh(xi+1, t). Les courants entrants et sortants au noeudxi sontIh(xi, t) et Ih(xi+1, t). La chute de tension VL =Vh(xi, t)−Vh(xi+1, t) dans l’inductance est proportionnelle `a la d´eriv´ee temporelle du courant,VL=Lh∂Ih(xi, t)
∂t et le courantIC circulant `a travers la capacit´e reli´e enxi est proportionnel
`
a la d´eriv´ee temporelle de la tension IC = Ch∂Vh(xi, t)
∂t . Enfin, la loi de Kirchhoff des courants au noeudxi s’´ecritIh(xi, t)−IC −Ih(xi+1, t) = 0.
1.a. Etablir les deux ´equations v´erifi´ees par les limitesV(x, t) etI(x, t) deVh(x, t) etIh(x, t) obtenues lorsque la tailleh des cellules tend vers z´ero,
∂V(x, t)
∂x =−L∂I(x, t)
∂t et ∂I(x, t)
∂x =−C∂V(x, t)
∂t . 1.b. En d´eduire l’´equation, dite des t´el´egraphistes, v´erifi´ee par la tension V(x, t),
LC∂2V(x, t)
∂t2 − ∂2V(x, t)
∂x2 = 0. (1)
Dans la suite, on pose LC = 1, on consid`ere que l’´equation des t´el´egraphistes est pos´ee dans les intervallesx∈(0,1) ett∈(0,1) avec conditions aux limites sur la tension
V(0, t) =V(1, t) = 0. (2)
On adjoint ´egalement les conditions initiales
V(x,0) =V0(x) et ∂V(x,0)
∂t =V1(x) (3)
o`uV0 et V1 sont deux fonctions donn´ees d´efinies sur (0,1).
2. Quel est le type de l’´equation des t´el´egraphistes (bien justifier votre r´eponse)?
On utilise la m´ethode des variables s´epar´ees en posantV(x, t) =u(x)w(t) pour d´eterminer la solution g´en´erale de l’´equation des t´el´egraphistes munie des conditions aux limites (on ne tient pas compte des conditions initiales).
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3.a. Montrer queu etw sont solutions des ´equations d2w
dt2 (t) =−k2w(t) pourt∈(0,1) et d2u
dx2(x) =−k2u(x) pour x∈(0,1) pour n’importe quel nombrek.
3.b. Calculer toutes les solutions possibles u en tenant compte des conditions aux limites.
3.c. En d´eduire la solution g´en´eralew et finalement toutes les solutionsV de (1-2).
On consid`ere la formulation variationnelle V(t, .)∈ V,
∫ 1
0
∂2V(x, t)
∂t2 w(x) + ∂V(x, t)
∂x
∂w(x)
∂x dx= 0 pour chaquet∈(0,1) pour toutw∈ V ={v∈H1(0,1)|v(0) =v(1) = 0}.
4. Montrer que le probl`eme aux limites (1-2) implique la formulation variationnelle.
Il s’agit de proc´eder `a la discr´etisation spatiale (on ne discr´etise pas la variable de temps) par la m´ethode des ´el´ements finis de la formulation variationnelle. PourN ∈N∗,on effectue la discr´etisation aux noeuds x0, ..., xN+1 avec xi = i ∆x et ∆x = 1
N + 1. On utilise la famille (φi)i=0,...,N+1 des fonctions ”chapeau” d´efinies en cours comme base d’approximation. On admet que
∫ xi+1
xi
( φi(x)φi(x) φi(x)φi+1(x) φi+1(x)φi(x) φi+1(x)φi+1(x)
)
dx = ∆x
6
( 2 1 1 2
)
et
∫ xi+1
xi
( φ′i(x)φ′i(x) φ′i(x)φ′i+1(x) φ′i+1(x)φ′i(x) φ′i+1(x)φ′i+1(x)
)
dx = 1
∆x
( 1 −1
−1 1 )
.
5. Appliquer la m´ethode de Galerkin et pour cela montrer qu’il faut faire le choix V(x, t) =
∑N
i=1Vi(t)φi(x).
6. Ecrire la premi`ere ´equation du syst`eme discr´etis´e par la m´ethode des ´el´ements finis, elle porte sur
∂2V1
∂t2 , ∂2V2
∂t2 , V1 etV2.
Dans la suite, on proc`ede `a une discr´etisation par la m´ethode des diff´erences finies. Pour cela, on choisit de l’effectuer sur le syst`eme des ´equations satisfaites par le couple (I, V),
∂I(x, t)
∂t +∂V(x, t)
∂x = 0 et ∂V(x, t)
∂t +∂I(x, t)
∂x = 0 pourx∈(0,1) ett∈(0,1).
On l’´ecrit sous la forme d’un syst`eme
∂U(x, t)
∂t +A∂U(x, t)
∂x = 0 o`uU = ( I
V )
etA=
( 0 1 1 0
)
et on propose d’appliquer le sch´ema de Lax-Friedrichs avec les pas de temps et pas d’espace ∆tet ∆x et avec la notationUjn pour l’approximation de U(n∆x, j∆t) :
Ujn+1= 1
2(Uj+1n +Ujn−1)− ∆t
2∆xA(Uj+1n −Ujn−1).
7. a. Montrer que U(xj, tn+1)−12(U(xj+1, tn) +U(xj−1, tn))
∆t est une approximation consistante de
∂U(xj, tn)
∂t .Donner l’ordre de consistance.
b. En d´eduire que le sch´ema est consistant `a condition que le rappport ∆x2
∆t tende vers 0 lorsque ∆t et ∆x tendent vers 0.
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