Interruption de partie
Problème G140 de Diophante
Zig et Puce jouent à pile ou face. Si la pièce tombe sur pile, Zig marque un point et si elle tombe sur face, c'est Puce qui marque le point. Au début de la partie, chacun mise la même somme au pot et ils conviennent que le premier des deux qui atteint le score S gagne la partie et récupère la totalité du pot de 102,40 €. Après 16 lancers de la pièce, le jeu est interrompu et ils décident de partager le pot. Comme ils ont quelques réminiscences du calcul des probabilités, ils se mettent d'accord pour que Zig qui a deux points de plus que Puce empoche 72,65€ tandis que Puce récupère le reste.
Retrouver leur mode de raisonnement avant de déterminer S.
Solution
Zig a gagné 9 coups et Puce 7 seulement. Il reste donc 2S – 15 coups à jouer, au maximum. Notons R ce nombre 2S – 15 et supposons que Zig et Puce aient joué encore R coups. En notant Z le nombre de pile d’une partie, alors le nombre de face est R – Z et Zig gagne la partie lorsque Z ≥ S – 9, soit Z ≥ (R-1)/2.
Zig et Puce ont convenu de se partager le pot au prorata des parties que chacun aurait pu gagner.
Ci-contre, une partie peut être représentée par un chemin croissant (en mauve) aboutissant en zone verte (victoire de Zig) ou en zone orange (victoire de Puce).
Le nombre de tels chemins de longueur R qui aboutissent à un point fixé est un coefficient binomial.
Dans le tableau qui suit, figure un extrait du triangle de Pascal (en vert et orange). En marges : S est le
S S
9 7
Pile Face
score à atteindre ; P le nombre total des parties favorables à Puce ; Z le nombre total des parties favorables à Zig et r le rapport Z/P.
S P Z r
10 1 1 3 3 1 7 7,00
11 6 1 5 10 10 5 1 26 4,33
12 29 1 7 21 35 35 21 7 1 99 3,41
13 130 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 382 2,94
14 562 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1486 2,64 15 2380 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 5812 2,44 16 9949 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 22819 2,29
On observe que r vaut 72,65 / 29,75 lorsque S = 15.
Evidemment, un tel calcul n’a de sens que si on suppose (ce qui n’est pas dit explicitement dans l’énoncé) que la pièce est supposée tomber sur pile et/ou sur face avec des probabilités égales.
