G140. Interruption de partie
A l’issue de 16 lancers de la pièce, Zig dispose de 9 points contre 7 points pour Puce. Leur raisonnement est de partager le pot selon leur espérance de gain. Pour cela, nous évaluons la probabilité pour Zig d’atteindre le scoreS >10 sachant qu’il a 9 points et que Puce a 7 points. Nous pouvons représenter graphiquement un cheminement de partie en partant du point (9,7) et en se déplaçant vers la droite après un pile et vers le haut après un face. Il est clair qu’une partie durera au plus 2S−1 lancers. Au moment du dernier lancer de pièce, Zig avait le score S−1 et obtiendra un pile. Le score de Puce reste à tout moment compris entre 7 et S −1. Tout se passe donc dans le rectangle ayant comme coin inférieur gauche le point (9,7) et comme point supérieur droit le point (S−1, S−1).Il s’agit donc de dénombrer les chemins partant de (9,7) et allant en (S−1, y) où 76y6S−1.Cela peut se faire par récurrence, à l’aide d’un tableur (voir tableau pour S = 15 ci-dessous, la valeur d’une case étant égale à la somme des valeurs de la case en dessous et celle à sa gauche). En intégrant le dernier lancer, un tel chemin de longueur S+y−16 sera donc pondéré par 2S+y−161 . La probabilité cherchée vaut donc
S−8
X
i=0 CS−10+iS−10
2S−9+i .Les nombres de Catalan n’étant
jamais loins, il semblerait que cette probabilité vaille également 1−
S−9
X
i=1 C2ii (i+1)22i+1. A posteriori nous en déduisons S = 15 donnant une probabilité de 14532048, soit une espérance de gain de 145320 = 72,65. En toute rigueur, il faudrait montrer que c’est la seule valeur.
14 1 8 36 120 330 792
13 1 7 28 84 210 462
12 1 6 21 56 126 252
11 1 5 15 35 70 126
10 1 4 10 20 35 56
9 1 3 6 10 15 21
8 1 2 3 4 5 6
7 1 1 1 1 1 1
y/x 9 10 11 12 13 14
1
