Fiches des Unit´es d’Enseignement Licence de Math´ematiques

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Licence de Math´ematiques

Universit´ e Paris 7 Denis Diderot

Juin 2009

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Table des mati` eres

1 Unit´es d’enseignement en S1 3

Algèbre et analyse élémentaires I . . . 3

Physique I. . . 5

Physique de la lumi`ere . . . 6

Initiation `a l’informatique et `a la programmation . . . 7

Principes de fonctionnement des machines binaires . . . 8

Biologie cellulaire et mol´eculaire exp´erimentale . . . 9

Atomes et mol´ecules . . . 10

Panorama des sciences de la Terre . . . 11

Actualit´es de la recherche en Science de la Terre . . . 12

Langage math´ematique . . . 13

Statistiques descriptives . . . 14

2 Unités d’enseignement en S2 15 Algèbre et analyse élémentaires II . . . 15

Physique II . . . 18

Calcul formel . . . 19

Projet pr´e-professionnalisant PP2. . . 20

3 Unit´es d’enseignement en S3 21 Alg`ebre et analyse fondamentales I . . . 21

Electrostatique et magn´´ etostatique . . . 23

Algorithmes et programmes . . . 24

Probabilit´es discr`etes. . . 25

Courbes et surfaces param´etr´ees . . . 26

Structures alg´ebriques . . . 27

4 Unit´es d’enseignement en S4 28 Alg`ebre et analyse fondamentales II . . . 28

Electromagn´´ etisme . . . 30

Math´ematiques discr`etes . . . 31

Probabilit´es et statistiques. . . 32

Simulation num´erique . . . 33

Groupes et arithm´etique . . . 34

(3)

Introduction `a la logique math´ematique . . . 35

Projet pr´e-professionnalisant PP1. . . 36

5 Unit´es d’enseignement en S5 37 Alg`ebre . . . 37

Topologie et calcul diff´erentiel. . . 38

G´eom´etrie affine et euclidienne . . . 39

Topologie et calcul diff´erentiel. . . 40

Int´egration . . . 41

Analyse num´erique matricielle. . . 42

6 Unités d’enseignement en S6 43 Intégration et probabilités . . . 43

Espaces de Hilbert . . . 44

Fonctions analytiques . . . 45

Equations diff´´ erentielles ordinaires . . . 46

Logique et th´eorie des ensembles . . . 47

Projet Pr´e-professionnel PP3 . . . 48

Probabilit´es et simulation . . . 49

Analyse numérique d’équations différentielles ordinaires . . . 50

Analyse de Hilbert et de Fourier . . . 51

Optimisation . . . 52

M´ethodes num´eriques . . . 53

Index des codes d’UE 53

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Unit´ es d’enseignement en S1

Alg` ebre et analyse ´ el´ ementaires I

MT1 (9 ECTS, coef. 3)

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : Bac S

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE : elle fait partie du tronc commun.

Parcours pouvant int´egrer cette UE : tous les autres parcours.

Programme des enseignements Ensembles et applications

– inclusion, partie, réunion, intersection, complémentaire ; nombre de parties d’un ensemble ànéléments ;

– produit cart´esien de deux ensembles ;

– application d’un ensemble dans un autre, restriction d’une application, image d’une partie ; compos´ee ; bijection, bijection r´eciproque.

Nombres complexes

– partie réelle et imaginaire, module et argument (et leur interprétation géométrique) ; inégalité triangulaire ;

– calcul de l’inverse d’un nombre complexe non nul ;

– calcul des racines carrées d’un nombre complexe ; équation du second degré à coefficients complexes ;

– nombres complexes de module 1, formule de Moivre, applications `a la trigo- nom´etrie ;

– racinesn-ième de l’unité, équationzⁿ=a.

– interprétation géométrique des applicationsz→az+betz→z¯. Fonctions polynôme

– unicité des coefficients de la forme développée d’une fonction polynôme réelle ; degré d’une fonction polynôme, degré d’un produit ;

– factorisation, factorisation par (x−a) et racine ; notion de racine multiple ; – pr´esentation pratique sans d´emonstration de la division euclidienne des fonc-

tions polynˆomes r´eelles ;

(5)

– formule du binˆome, coefficients_n p

(formule de récurrence et calcul) ; nombre de parties àpéléments d’un ensemble ànéléments.

Introduction à l’algèbre linéaire

– vecteurs de Rⁿ, combinaisons linéaires ; sous-espace vectoriel de Rⁿ, sous- espace engendré ; vecteurs indépendants ; base d’un sous-espace ; recherche d’une base ; exemples des plans et des droites deR³;

– ´equation lin´eaire

p

X

i=1

xi−→ui = −→

b, o`u −→ui,−→

b ∈ Rⁿ, écriture sous forme d’un système d’équations ; sous-espace deRⁿ défini par une équation linéaire ho- mogène ;

– résolution des systèmes d’équations linéaires.

– droites et plans affines dansR³ (on pourra utiliser le produit scalaire et in- troduire le produit vectoriel) ;

Fonctions continues

– rappel et pratique du théorème des valeurs intermédiaires ; énoncé du théorème

”toute fonction continue sur un segment a un maximum et un minimum” ; – énoncé sans démonstration du théorème sur les fonctions et les suites crois-

santes major´ees ;

– fonction continue strictement monotone et continuit´e de la bijection r´eciproque ; fonctions Arc sinus et Arc tangente.

Fonctions d´erivables

– rappels sur d´eriv´ee et tangente en un point ;

– rappel (sans démonstration) de l’inégalité de la moyenne : si|F⁰| ≤M, alors

F(b)−F(a)

≤M|b−a|

(vue en TS sous la forme : si m ≤ f ≤ M, alors m(b−a) ≤ Rb

af(t)dt ≤ M(b−a) ) ;

– dérivée de la réciproque d’une fonction strictement monotone dérivable ; – notation a^b, où a > 0 ; rappels sur les fonctions puissance, logarithme et

exponentielle ; fonctions sinus et cosinus hyperbolique ;

– exemples d’´etude de fonctions au niveau d’une classe de Terminale S, recherche d’une droite asymptote ;

– exemples d’´etude de suitesun=f(n) et de suites it´erativesun+1=f(un).

Fonctions de deux variables réelles – dérivée partielle ;

– exemples d’´etude de surfacez=f(x, y) par sections planes ; vecteur gradient ; plan tangent en un point (existence admise).

Objectifs :Initiation `a la pratique des fonctions et des vecteurs deRⁿ.

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Physique I

PH1 (6 ECTS, coef. 2)

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis :

Parcours intégrant obligatoirement cette UE : mentions Physique, Chi- mie, Sciences de la Terre, Mathématiques, Mathématiques et Informatique Parcours pouvant intégrer cette UE : tous les autres parcours.

Programme des enseignements

Partant des connaissances du lycée sur le mouvement d’un point matériel, cette UE est une introduction simple à de nouveaux domaines de la physique en généralisant les notions d’équilibre et de mouvement :

– analyse dimensionnelle et lois d’´echelle – hydrostatique et hydrodynamique

– thermique : temp´erature, chaleur, conduction de la chaleur

Objectifs : Généralisation de notions abordées au lycée (équilibre et mouvement), et introduction aux raisonnements physiques plus abstraits à partir de domaines nouveaux pour les étudiants (mécanique des fluides, propagation de la chaleur) et ap- pliqués ce qui donne la possibilité d’expériences de cours et permet de déboucher sur des projets expérimentaux.

(7)

Physique de la lumi` ere

OP1 (3 ECTS, coef. 1)

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE : elle fait partie du tronc commun.

Programme des enseignements – R´efraction (arc en ciel, rayon vert ... ).

– Interf´erences.

– Rayonnement thermique.

– Vision des couleurs.

Objectifs :

– sensibilisation à la physique observationnelle – initiation à l’optique autre que géométrique

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Initiation ` a l’informatique et ` a la programmation

IF1 (6 ECTS, coef. 2)

Modalités d’évaluation :Examen terminal et contrôle continu en TD et TP.

Pr´e-requis :

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE :Informatique, Math´ematiques et Informatique

Parcours pouvant intégrer cette UE : Toutes les mentions des licences Science, Technologie, Santé suivant les capacités d’accueil. Cette UE est obliga- toire pour les étudiants souhaitant se réorienter dans la mention Informatique.

– concepts généraux : organisation générale d’un ordinateur, codage d’informations (caractères et nombres), langages de programmation (styles de programmation, compilation/interprétation, code binaire ou code intermédiaire) ;

– notion d’algorithme et son expression en langue naturelle ;

– variables et identificateurs, identificateurs, la disjonction nom/valeur, les expressions, le concept de type ;

– l’affectation : variables et expressions booléennes et leur évaluation ; – structures de contrôle : sélections, itérations ;

– les tableaux `a une ou plusieurs dimensions et les imbrications de boucles ; – le concept de fonction et la transmission de param`etres ;

– rapide introduction au concept d’objet.

Objectifs :

– Comprendre un certain nombre des concepts g´en´eraux des ordinateurs et de la programmation.

– R´ealiser le codage effectif, la compilation et l’ex´ecution d’algorithmes simples dans un environnement de type Unix.

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Principes de fonctionnement des machines binaires

PF1 (3 ECTS, coef. 1)

Modalités d’évaluation : la note finale pourra prendre en compte des notes de partiel et d’examen, ainsi que des notes de contrôle continu.

Pr´e-requis :

Parcours intégrant obligatoirement cette UE : Informatique générale Parcours pouvant intégrer cette UE :

– organisation générale d’un ordinateur : processeur, mémoire et périphériques – codage binaire des données : le codage des caractères et des nombres

– les instructions élémentaires d’un processeur (transferts de données, opérations arithmétiques ou logiques, modification du déroulement séquentiel)

– les modes d’adressage : direct, index´e et indirect principe d’ex´ecution d’un programme

– langage machine et langage d’assemblage

– les circuits logiques : combinatoires (codeur/d´ecodeur, multiplexeur, additionneur) et s´equentiels (bascules)

Objectifs :omprendre un certain nombre des principes généraux du traitement de données par des machines binaires.

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Biologie cellulaire et mol´ eculaire exp´ erimentale

BI1 (6 ECTS, coef. 2)

Modalit´es d’´evaluation : TP (30%) et examen final (70%).

Pr´e-requis :

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE : S1 Sciences du Vivant Parcours pouvant int´egrer cette UE : tous les autres parcours.

Cet enseignement se propose de faire une présentation de la diversité et de l’évolution des grands domaines du monde du vivant : Archées, Eubactéries et Eucaryotes (avec une attention particulière pour les eumycètes, la lignée vertes et les métazoaires).

Cours magistraux (30 h total)

Premi`ere partie : Evolution et Diversit´e du monde vivant (10h)

– Origine de la vie, procaryotes/eucaryotes (origine des mitochondries et chloroplastes), reproduction asexuée et sexuée, acquisition de la multicellularité et développement.

– Diversité des archées et des eubactéries, des champignons et des eucaryotes unicel- lulaires

Deuxième partie : Présentation de la lignée verte (10h)

– Organisation et biologie des Embryophytes, place dans les écosystèmes Troisième partie : Evolution et Diversité des métazoaires (10h)

– Classification et phylogénie : importance, historique et méthodes – Phylogénie des métazoaires

Travaux dirig´es (2h/ s´eance soit 10h)

– Les diff´erents niveaux d’organisation du vivant

– La cellule végétale : unité de construction de tous les végétaux – Phylogénie (1), principe et méthodes

– Phylog´enie (1), exercices d’application – Phylog´enie (1), approfondissement

Travaux pratiques (3h/ s´eance sauf * : 4h, soit 16 h)

– Les Angiospermes Dicotyl´edones : morphologie et anatomie d’une plante herbac´ee et d’une plante ligneuse

– Reproduction sexuée et multiplication végétative chez les Embryophytes – La cellule végétale et la cellule fungique *

– Visite de la grande galerie du Mus´eum national d’histoire naturelle

– Organisation d’un vertébré mammifère : la souris (dissection de l’appareil digestif) Travaux pratiques / dirigés (3h/ séance, sauf * : 4h, soit 7h)

– Expos´es scientifiques *

– Diversité des Eubactéries, des Archées, des Eumycètes

Objectifs :Cette UE vise à fournir aux étudiants les bases d’une culture biologique relative à la diversité et l’évolution des grands domaines du vivant en intégrant des notions phylogénétiques, morphologiques, développementales et fonctionnelles

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Atomes et mol´ ecules

CH1 (6 ECTS, coef. 2)

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE : Chimie, Sciences de la Terre, Sciences du Vivant, Physique

Programme des enseignements 1. L’atome

(a) L’atome : noyau et ´electrons, les isotopes.

(b) La description quantique de l’électron dans l’atome. L’atome d’hydrogène et l’hydrogéno¨ıde. Les niveaux d’énergies, le spectre électronique.

(c) L’atome polyélectronique, le modèle orbitalaire, le modèle de Slater.

(d) Le tableau périodique, énergie d’ionisation, affinité électronique, électronégativité de l’atome.

2. Liaisons entre les atomes et les molécules (a) Le modèle de Lewis, VSEPR. Mésomérie.

(b) Energie de liaison, moment dipolaire, polarisation de la liaison, électronégativité de Pauling. Caractère ionique partiel.

(c) Liaisons intermol´eculaires (VdW, hydrog`ene).

(d) Introduction `a la description du solide.

3. Mol´ecules organiques

(a) Géométrie des liaisons avec le carbone. La nomenclature des molécules organiques. Isoméries.

(b) Stéréoisomères, projections, carbone stéréogène, conformation, configura- tion.

(c) Chiralit´e et activit´e optique.

(d) Exemples de réactions d’addition pour illustrer la stéréoisomérie.

Objectifs :

1. Calculs de proportions, stoechiométrie, masse molaire élémentaire, incertitudes sur les mesures, titration en solution.

2. Structure d’un atome polyélectronique, couches et sous-couches, orbitales ato- miques et symétrie de ces orbitales, notion d’énergie électronique, interaction photon-atome.

3. La liaison de covalence dans les molécules, la polarisation des liaisons. Le rôle de la place d’un élément dans le tableau périodique sur le comportement individuel de ses atomes dans une molécule.

4. L’existence et la force de liaisons intermol´eculaires.

5. Des notions sur l’´etat solide.

6. Structure dans l’espace des mol´ecules en s’appuyant sur la chimie organique.

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Panorama des sciences de la Terre

ST1 (3 ECTS, coef. 1)

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE : S1 STEP Parcours pouvant int´egrer cette UE : tous les autres parcours.

On dressera un panorama des grands acquis (certains très récents) des géosciences à l’échelle globale. Ce cours (en deux parties) a pour but d’exciter l’intérêt des étudiants pour des disciplines qui ont connu plusieurs révolutions scientifiques (tectonique des plaques, exploration des planètes, environnement) depuis trois décennies. Il doit donner la culture générale de base en géosciences, tant pour les étudiants qui continueront dans ces domaines que pour ceux qui ne verront des géosciences que ce cours.

1. Introduction ; concepts et outils de base (a) La terre dans l’univers

(b) Introduction à la structure de la terre (c) Le temps et sa mesure en géologie 2. Compléments sur la Terre interne

(a) Mat´eriaux de l’´ecorce terrestre

(b) Tectonique des plaques : le mod`ele unificateur

Objectifs :Acquisition de connaissances de base solides (par un choix d’objets, d’outils et de méthodes quantitatives) sur les méthodes d’exploration de la Terre à l’échelle globale (géologie, planétologie, géophysique, géochimie, liens avec les autres disciplines dont les sciences physiques ou de la vie - évolution).

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Actualit´ es de la recherche en Science de la Terre

SA1 (3 ECTS, coef. 1)

Modalités d’évaluation :Exposé individuel, présentation collective, interven- tions orales tout au long du semestre

Pr´e-requis :

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE : S1 STEP Parcours pouvant int´egrer cette UE : tous les autres parcours.

Présentation et discussions à partir d’articles de vulgarisation scientifique ou d’autres supports sur des sujets de recherche actuels en Sciences de la Terre, des planètes et de l’Environnement. Introduction aux problématiques modernes ainsi qu’aux résultats récents dans ce domaine. L’accent sera mis sur l’analyse critique de l’approche scientifique et sur les méthodes utilisées. A travers des présentations individuelles et collec- tives en interaction avec l’auditoire, ce cours a pour but de développer les capacités de communication nécessaires à toute activité de recherche ou professionnelle.

Objectifs : Acquisition d’une culture en Sciences de la Terre, des planètes et de l’Environnement au plus près des découvertes actuelles. Capacité à analyser et discu- ter des résultats scientifiques. Capacité à présenter de manière structurée et vivante une problématique et des résultats scientifiques, à utiliser les outils de visualisation informatiques. Acquisitions des bases de communication orale.

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Langage math´ ematique

LM1 (3 ECTS, coef. 1)

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : Bac S ou ES

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE :

Parcours pouvant intégrer cette UE : Mathématiques, Mathématiques et Informatique, MASS, Informatique, Physique et Chimie, STEP, SV.

Etude des particularit´´ es du langage mathématique, à partir d’exemples. Notions simples de dénombrement et de cardinalité.

– fonctions et ensembles (opérations ensemblistes, injection, surjection, bijection) ; – Expressions mathématiques : notion de variable, paramètre, notation fonctionnelle,

notation indicée (suite) ; les énoncés : connecteurs, quantificateurs, négation d’énoncés usuels, implication, équivalence, contraposition ;

– Raisonnement : analyse de raisonnements élémentaires à partir d’exemples ; raisonnement par contraposition, par l’absurde ; méthodes pour démontrer l’équivalence de plusieurs énoncés ; raisonnement par récurrence ; recherche de démonstration et recherche de contre-exemple.

– Équipotence, cardinalité d’un ensemble, combinatoire : quelques méthodes usuelles de dénombrement : principe des tiroirs, principe d’inclusion-exclusion, et applications ; cardinalité infinie :N,Z,Q,R(théorème de Cantor).

Les notions abordées seront illustrées par des exemples familiers pris dans les cours de mathématiques suivis par ailleurs par l’étudiant.

Objectifs :comprendre et manier le langage des math´ematiques.

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Statistiques descriptives

SD1 (3 ECTS, coef. 1)

Ce cours s’inscrit dans la continuité du programme de secondaire. Il a pour objet de mettre en oeuvre les concepts et méthodes introduits dans des situations concrètes ainsi que de réfléchir à une utilisation en terme d’interprétation statistique des divers résultats fournis par les logiciels statistiques ou tableurs. Les thèmes abordés sont les suivants :

– Diff´erentes sortes de donn´ees statistiques

– Organisation des donn´ees (tableaux, graphiques...) ;

– Param`etres de position et de dispersion (mode, moyenne, m´ediane et intervalles) ; – Concentration ;

– Données bidimensionnelles : regression, corrélation, ajustements – Séries chronologiques

Objectifs :Cette option a pour objet de mettre en oeuvre les concepts et méthodes introduits dans des situations concrètes ainsi que de réfléchir à une utilisation en termes d’interprétation statistique des divers résultat fournis par les logiciels statistiques ou tableurs.

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Unit´ es d’enseignement en S2

Alg` ebre et analyse ´ el´ ementaires II

MM2 (12 ECTS, coef. 4)

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : S1 maths

Parcours intégrant obligatoirement cette UE :Mathématiques, Mathématiques et Informatique.

Parcours pouvant intégrer cette UE :tout autre parcours, à l’appréciation du directeur des études.

Programme des enseignements Espace vectoriel

– espace vectoriel surK=RouC; sous-espace vectoriel, intersection de sous- espaces, sous-espace engendr´e, partie libre, base (finie) ; coordonn´ees d’un vecteur dans une base ; recherche pratique d’une base quand on connait des vecteurs qui engendrent ;

– théorème de la base incomplète ; siEest engendré parpvecteurs, alors toute partie libre a au pluspéléments ; dimension (finie) d’un espace vectoriel ; – dimension d’un sous-espace d’un espace vectoriel de dimension finie ; hyper-

plan ; des sous-espaces emboˆıtés sont égaux si et seulement s’ils ont même dimension ;

– sous-espaces suppl´ementaires, caract´erisation utilisant les dimensions.

Applications lin´eaires

– définition ; existence et unicité d’une application linéaire envoyant les vecteurs d’une base dans des vecteurs donnés ; endomorphisme ; isomorphisme d’espaces vectoriels ; tout espace vectoriel de dimension n est isomorphe à Kⁿ;

– exemples d’applications linéaires, notamment forme linéaire et projection ; – noyau, image d’une application linéaire ; rang d’une application linéaire ; ap-

plication lin´eaire surjective, injective, caract´erisations au moyen du noyau et du rang ;

– sif est une application linéaire, alorsf définit un isomorphisme entre tout supplémentaire du noyau et l’image ; théorème de la dimension.

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Matrices

– matrice à coefficients dans K = RouC; écriture d’un système d’équations linéaires sous la formeAX=B;

– matrice d’une application lin´eaire dans des bases ;

– somme et produit de matrices, matrice transposée ; propriétés de ces opérations ; rang d’une matrice, rang de la transposée ;

– matrice inversible, calcul de l’inverse, inverse d’un produit ; caract´erisation des bases ;

– matrice de passage, formule du changement de base pour les vecteurs, formule du changement de base pour les endomorphismes ; matrices semblables.

Formule de Taylor

– démonstration du théorème de Rolle en admettant (cf S1) que toute fonc- tion continue sur un segment a un maximum et un minimum ; théorème des accroissements finis et applications ;

– formule de Taylor avec reste en f⁽ⁿ⁾(θ) ; applications `a des encadrements (notamment de sinx, cosx, expxou ln(1+x)) ;

D´eveloppements limit´es

– fonction n´egligeable devant une autre en un point, notationf(x) =

x→ao g(x) , principales propriétés de cette relation (notamment transitivité et multiplica- tivité) ;

– définition d’un développement limité à l’ordre nd’une fonction en un point, unicité ; cas d’une fonction paire (impaire) ; développement à l’ordre 0 (conti- nuité) et à l’ordre 1 (dérivabilité) ;

– existence du développement limité à l’ordre n pour une fonction ayant une dérivéen-ième ;

– développement limité d’une primitive ; développements limités au point 0 de 1

1+x, ln(1+x), expx, sinx, cosx, (1+x)^α;

– calcul des développements limités : tronquer un polynôme, développement limité d’une somme, d’un produit, d’une composée ;

– applications des développements limités au calcul des limites et à l’étude locale de fonctions (y compris position du graphe par rapport à une asymptote) ; Courbes paramétrées planes

– vecteur tangent, étude locale en un point régulier ou singulier, asymptote ; Intégrales

– primitive, toute fonction continue sur un intervalle a des primitives (admis) ; – calcul de primitives : int´egration par parties (rappel) et changement de va-

riables ;

– primitives de fonctions rationnelles ^P_Q, où Q est un produit de facteurs de degré 1, ou de la formeT, (X−a)T ouT², oùT est de degré 2 (on pratiquera sans théorie la décomposition en éléments simples dans ces cas-là) ;

– primitives de ”fonctions polynˆomes ou rationnelles en sinus et cosinus”.

Equations diff´erentielles lin´eaires

– ´equationy⁰=a(x)y+b(x) et m´ethode de variation de la constante ;

– dérivée de t 7→ exp(iat), où a ∈ R; équation linéaire du second ordre à coefficients constants et second membre de la formeP(x) exp(ax), oùP est une fonction polynôme.

– exemples de résolution d’équations différentiellesy⁰=f(y).

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Objectifs :Approfondissement des techniques en algèbre linéaire (matrices et dimension) et en analyse (limites, primitives, équations différentielles).

(19)

Physique II

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : Physique I

Parcours intégrant obligatoirement cette UE : mention Physique, parcours Sciences de la Matière (mention Chimie), Mathématiques

Parcours pouvant int´egrer cette UE : tous les autres parcours offrant la passerelle vers la mention Physique

Programme des enseignements – Cin´ematique, principe de relativit´e

– Lois de Newton – Lois de conservation

´

energie : Oscillateur harmonique libre, amorti, entraˆın´e, courbes de r´esonance.

– Quantité de mouvement : Collisions (conservation de la quantité de mouvement d’un système de N particules)

– Moment cinétique : d’un système de N particules, théorème du moment cinétique,

´

equilibre et mouvement d’un solide ind´eformable, moments d’inertie.

– Principe de la dynamique dans un référentiel non galiléen : pseudo forces – Applications : problème à deux corps, lois de Kepler,. . .

(20)

Calcul formel

MK2 (3 ECTS, coef. 1)

Parcours intégrant obligatoirement cette UE :Mathématiques, Mathématiques et Informatique

Parcours pouvant intégrer cette UE : tout parcours, à l’appréciation du directeur d’études

Apprentissage d’un logiciel de calcul formel et rudiments de programmation. Utili- sation du logiciel pour r´esoudre des exercices de Math´ematiques correspondant aux programmes de S1 et S2.

Objectifs : Acqu´erir les bases du calcul formel et de l’utilisation de logiciels math´ematiques.

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Projet pr´ e-professionnalisant PP2

PP2 (3 ECTS, coef. 1)

Modalités d’évaluation :Projet avec compte-rendu écrit et soutenance orale.

Pr´e-requis :

Programme des enseignements Elaboration d’un projet professionnel personnel .´

– Entretien individuel.

– ´Elaboration de CV.

– Pr´eparation d’un entretien d’embauche.

– Analyse et synth`ese de documents – Entraˆınement `a l’argumentation – Prise de parole

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Unit´ es d’enseignement en S3

Alg` ebre et analyse fondamentales I

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : S1 et S2 mathématiques

Parcours pouvant intégrer cette UE :tout autre parcours, à l’appréciation du directeur d’études

Retour sur les fondamentaux de l’analyse réelle – borne supérieure d’une partie deRnon vide et majorée (on pourra admettre l’existence) ; toute suite ou fonction croissante et majorée a une borne supérieure ;

– théorème de Bolzano-Weierstrass pour un segment ; démonstration des théorèmes sur les fonctions continues (la notion de suite de Cauchy n’est pas nécessaire) : – l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle,

– toute fonction continue sur un segment a un maximum et un minimum, – toute fonction continue sur un segment est uniform´ement continue ;

– fonction intégrable (Riemann) sur un segment, définition et propriétés de l’intégrale ; toute fonction monotone ou continue est intégrable ; toute fonction continue sur un intervalle a des primitives.

Séries numériques et intégrales impropres – série numérique, convergence ; série géométrique, série de Riemann ; théorème de comparaison ; convergence ab- solue ;

– s´erie altern´ee ; exemples d’utilisation de la transformation d’Abel ;

– intégrale impropre, convergence ; théorème de comparaison ; convergence ab- solue ;

– comparaison entre s´erie et int´egrale.

Déterminant – déterminant d’une matrice à coefficients dansK=RouC; déterminant de la transposée et d’un produit ; méthodes de calcul d’un déterminant ; – caractérisation des matrices inversibles ;

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– produit vectoriel et produit mixte dans l’espace euclidienR³ usuel ;

Diagonalisation et trigonalisation (en dimension finie) – valeur propre, vecteur propre et sous-espace propre d’un endomorphisme ; polynôme caractéristique ; – endomorphisme et matrice diagonalisable, critère de diagonalisation ; – endomorphisme et matrice trigonalisable, critère de trigonalisation ; – structure des matrices carrées réelles de taille 2 ;

– théorème de Cayley-Hamilton ; – polynôme minimal, sous-espace stable.

Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants – résolution d’un système différentiel linéaire à coefficients constantsX⁰=AXdans le casAdiagonali- sable ; exemples de résolution dans le cas trigonalisable ; base de solutions.

– syst`emes avec second membre : m´ethode de variation de la constante vectorielle.

Objectifs :Retour sur les bases de l’Analyse et approfondissement en Alg`ebre lin´eaire

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Electrostatique et magn´ ´ etostatique

Parcours intégrant obligatoirement cette UE : Physique Standard, Phy- sique ENSI, Sciences Physiques, Parcours Parcours MedPhy, Mathématiques et Physique (mention Mathématiques)

Parcours pouvant int´egrer cette UE :

Programme des enseignements – Op´erateurs diff´erentiels

– Electrostatique du vide – Electrosatique des conducteurs

– Electrostatique des milieux diélectriques homogènes, isotropes et linéaires – Electrocinétique

– Magn´etostatique (dans le vide)

Objectifs :Introduction aux ´equations de Maxwell (ind´ependantes du temps).

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Algorithmes et programmes

IF3 (6 ECTS, coef. 2)

Modalités d’évaluation :Miniprojet sous forme de contrôle continu. Examen final comportant une partie pratique.

Pr´e-requis :

Parcours intégrant obligatoirement cette UE : Mathématiques Parcours pouvant intégrer cette UE : tous les autres parcours.

– notions de base sur l’architecture d’un ordinateur (m´emoire, fichiers, syst`eme d’ex- ploitation).

– les langages (interprétés, compilés)

– introduction `a la programmation, structuration d’un programme :

types de variables, tableaux, pointeurs, op´erations arithm´etiques, boucles, tests, fonctions.

– environnement de programmation unix. Editeurs, debuggers, outils graphiques simples.

– notions d’algorithmique et de complexit´e d’algorithmes.

– mise en pratique de ces notions à travers l’étude du langage C et l’écriture de programmes simples (tris, recherche dans une liste, générateur de nombres aléatoires, recherche des zéros d’une fonction...)

Objectifs :Une bonne maˆıtrise de l’outil informatique pour la poursuite d’´etudes scientifiques.

(26)

Probabilit´ es discr` etes

PR3 (3 ECTS, coef. 1)

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : L1 mathématiques

– Le modèle probabiliste : définition d’une probabilité et d’une variable aléatoire ; lien avec le dénombrement ; probabilités conditionnelles ; indépendance.

– Loi d’une variable aléatoire, exemples usuels (loi uniforme) Objectifs :Introduction à la théorie des probabilités.

(27)

Courbes et surfaces param´ etr´ ees

CS3 (3 ECTS, coef. 1)

Parcours pouvant intégrer cette UE : Mathématiques, Mathématiques et Informatique, Physique, Informatique

Programme des enseignements Courbe param´etr´ee en dimension2 ou3

– vecteur tangent ; abscisse curviligne et longueur pour un arc de courbeC¹; – courbe plane régulière : vecteur normal, courbure et rayon de courbure, étude

m´etrique locale en un point ;

– courbe dans l’espace régulière : repère de Frenet ; plan osculateur, courbure, torsion,

´

etude m´etrique locale en un point.

Surface d’´equationz=f(x, y)

– fonction de deux variables de classe C¹ : vecteur gradient et diff´erentielle en un point ;

– plan tangent, vecteur normal ; condition n´ecessaire d’extremum local ;

– formule de Taylor `a l’ordre 2 pour une fonction de deux variables, de classeC²;

´

etude locale en un point d’une surface d’´equationz=f(x, y) et condition suffisante d’extremum local.

Surface param´etr´ee dansR³

– surface paramétrée régulière ; plan tangent, vecteur normal ; – longueur d’un arc tracé sur une surface paramétrée ;

– repère de Darboux ; courbure normale (dans une direction) : calcul au moyen d’un repère de Frenet d’une courbe sur la surface et théorème de Meusnier ;

– directions principales et courbures principales, th´eor`eme d’Euler.

Objectifs :Introduction à la géométrie différentielle.

(28)

Structures alg´ ebriques

SA3 (3 ECTS, coef. 1)

Parcours pouvant intégrer cette UE : Mathématiques, Mathématiques et Informatique

Programme des enseignements Groupes

– structure de groupe ; sous-groupe, intersection de sous-groupes, groupe produit ; morphisme et isomorphisme de groupes ; noyau et image d’un morphisme ;

– division eulidienne dansZ; sous-groupes deZ, pgcd, ppcm ;

– groupe symétrique, transposition, cycle ; décomposition d’une permutation en produit de cycles à supports disjoints (on pourra admettre l’unicité) ;

– signature d’une permutation, groupe altern´e.

Anneaux et corps

– structure d’anneau ; sous-anneau, morphisme et isomorphisme d’anneaux ; groupe des inversibles d’un anneau unitaire ;

– corps commutatif, sous-corps ; morphisme ; exemples de sous-corps deC. Polynômes à une indéterminée

– polynome à une indéterminée sur un corps commutatif K, anneauK[X] ; fonction polynôme ; degré d’un polynôme non nul, multiplicativité du degré ;

– diviseur et multiple, division euclidienne ; pgcd ;

– relation de Bézout ; polynômes premiers entre eux ; théorème de Gauss ;

– division par X−a, racine d’un polynôme ; un polynôme de degré n a au plus n racines ; énoncé du théorème de d’Alembert-Gauss ;

– relations entre coefficients et racines ;

– polynôme dérivé ; racine multiple dans le casK⊂C; formule de Taylor ;

– polynôme irréductible ; polynômes irréductibles sur C, sur R, et exemples de po- lynômes irréductibles surQ; décomposition en produit de polynômes irréductibles.

Corps des fractions rationnelles

– fraction rationnelle à une indéterminée sur un corps commutatif K, corps K(X) ; degré d’une fraction rationnelle non nulle ; fonction rationnelle ;

– éléments simples ; décomposition en éléments simples (on pourra admettre l’unicité) ; pratique de la décomposition surC, et surRdans les cas les plus simples.

Complément d’algèbre linéaire

– espace vectoriel dual ; base duale (en dimension finie) ; transposition ; retour sur les systèmes d’équations linéaires.

Objectifs :acquisition des structures fondamentales de l’alg`ebre.

(29)

Unit´ es d’enseignement en S4

Alg` ebre et analyse fondamentales II

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : S1,S2,S3 Mathématiques

Programme des enseignements Int´egrale double

– fonction intégrable sur un domaine borné convenable deR²et notion d’aire (pas de théorie) ; calcul d’une intégrale double par intégrales simples successives (admis) ; – changement de variables pour les coordonnées polaires.

S´eries de fonctions

– série de fonctions convergente ; convergence uniforme et convergence normale ; – théorèmes de passage à la limite terme à terme, de continuité de la somme, d’intégration

terme à terme et de dérivabilité de la somme ; – exemples d’utilisation de la transformation d’Abel ;

– séries entières, rayon de convergence ; intégration et dérivation terme à terme ; produit de deux séries entières ;

– développement des fonctions usuelles, fonctions développables en série entière.

Intégrales à paramètre

– intégrale (à paramètre réel) sur un segment : continuité et dérivation sous le signe somme ;

– intégrale impropre à paramètre : continuité et dérivation sous le signe somme.

Forme bilin´eaire sym´etrique et forme quadratique (surR)

– forme bilinéaire symétrique, forme quadratique, identité de polarisation ; vecteurs orthogonaux, orthogonal d’un sous-espace ; forme non dégénérée ;

– (en dimension finie) matrice d’une forme bilin´eaire dans une base, expression matricielle ; formule de changement de base ;

– (en dimension finie) décomposition d’une forme quadratique en une somme de carrés de formes linéaires indépendantes ; existence et recherche de bases orthogonales.

Espace euclidien

(30)

– produit scalaire, norme euclidienne ; inégalité de Cauchy-Schwarz ; théorème de Py- thagore ;

– sous-espaces orthogonaux ; projection et sym´etrie orthogonale ;

– (en dimension finie) base orthonormée, coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée (expression du produit scalaire et de la norme) ; orthonormalisation de Gram-Schmidt ;

– isom´etrie d’un espace euclidien de dimension finie ; matrice orthogonale ; groupe orthogonal ; classification des matrices orthogonales de taille 2 ; rotation et sym´etrie vectorielle en dimension 2 ou 3.

Endomorphisme sym´etrique d’un espace euclidien

– adjoint d’un endomorphisme d’un espace euclidien, matrice de l’adjoint ; endomorphisme sym´etrique ;

– diagonalisation des matrices symétriques réelles dans le groupe orthogonal ; recherche d’une base orthonormée orthogonale pour une forme quadratique donnée ; recherche des axes d’une ellipse ou d’une hyperbole.

Objectifs :Outils fondamentaux de l’analyse, alg`ebre des espaces euclidiens ou her- mitiens.

(31)

Electromagn´ ´ etisme

Modalités d’évaluation : Contrôle continu, TP et examen final Pré-requis :

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE : Parcours Physique Stan- dard, Parcours ENSI, Parcours Sciences Physiques, Parcours MedPhy

Parcours pouvant intégrer cette UE : Mathématiques Programme des enseignements – Electromagnétisme de Maxwell.

– Energie magn´etique – Les ´equations de Maxwell

– Ondes électromagnétiques (OEM). Etude dans le vide – Energie électromagnétique. Vecteur de Poynting

– Réflexion sur un conducteur parafit. Ondes stationnaires, ondes guidées – Les matériaux magnétiques

– Equations de Maxwell et propagation dans les milieux lin´eaires

(32)

Math´ ematiques discr` etes

MD4 (6 ECTS, coef. 2)

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : S1, S2, S3 mathématiques

Parcours pouvant intégrer cette UE : Mathématiques, Mathématiques et Informatique

Les Mathématiques discrètes constituent un domaine en pleine expansion incluant la combinatoire, l’algorithmique, la recherche opérationnelle et la théorie des graphes et des arbres. Elles trouvent des applications importantes en informatique, dans la théorie des langages et des automates, dans les sciences de la vie,entre autres. On présentera les méthodes principales à partir de nombreux problèmes.

– Dénombrement : suites de nombres, depuis le binôme jusqu’à Fibonnacci et aux suites hypergéométriques, le rôle des fonctions génératrices,

– Arbres et Graphes : propriétés élémentaires des graphes, des arbres, optimisation dans les arbres pondérés (méthode du simplexe, circuits eulériens),couplage,coloriage ,théorie de Ramsey.

– Etude combinatoire des groupes de permutations, propriétés génériques et méthodes probabilistes en combinatoire.

Objectifs :Acquérir des compétences dans des domaines porteurs comme la théorie des graphes et des arbres.

(33)

Probabilit´ es et statistiques

PS4 (6 ECTS, coef. 2)

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal

Pré-requis : il est nécessaire de connaˆıtre au moins les séries numériques, les intégrales impropres, les intégrales doubles.

Parcours pouvant intégrer cette UE : Mathématiques, Mathématiques et Informatique, et tout autre parcours, à l’appréciation du directeur des études.

1. Modèle probabiliste associé à une expérience aléatoire (espace fondamental,

´

evénements, probabilité). Cas des espaces fondamentaux finis et probabilités uniformes : combinatoire

2. Variables aléatoires et lois de variables : cas discret, discret réel, réel continu en unidimensionnel. Fonction de répartition, densité.

Variables bidimensionnelles : lois jointes, lois marginales dans le cas discret et dans le cas continu.

3. Conditionnement, ind´ependance

4. Variables numériques : espérance, variance, inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchébychev, loi faible des grands nombres.

Enoncé du théorème de la limite centrale, sans preuve.

5. Modèle statistique associé à une expérience aléatoire (espace fondamental, événements, famille de probabilités indexées par un paramètre réel) : quelle connaissance sur le paramètre apporte le résultat de l’expérience ?

- notion d’´echantillon d’une loi, vraisemblance d’un ´echantillon

- estimateur ponctuel d’un paramètre (estimateur empirique, estimateur du maximum de vraisemblance), qualités des estimateurs (biais, risque quadratique) - estimation par intervalle d’un paramètre réel : intervalle de confiance, niveau de confiance (ceci est abordé dès la seconde dans les thèmes statistiques) - test d’une hypothèse simple contre une alternative : décision, erreurs de décision, niveau, statistique du test. Trois exemples : test sur le paramètre d’une loi de Bernoulli, test sur la moyenne d’une loi normale, test duχ²d’adéquation dans le cas discret fini (vu en Terminale), test duχ²d’indépendance dans le cas discret.

Objectifs :Montrer que la théorie des probabiltés, même à un niveau élémentaire et en admettant certains théorèmes, permet d’apporter des connaissances certaines dans une situation où il y a de l’aléa.

(34)

Simulation num´ erique

SN4 (6 ECTS, coef. 2)

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : L1 Mathématiques

Programme des enseignements En cours d’´elaboration.

(35)

Groupes et arithm´ etique

GA4 (6 ECTS, coef. 2)

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : S1, S2, S3 Mathématiques

Programme des enseignements Relation d’´equivalence

– d´efinition, classes d’´equivalence, partition d’un ensemble ; exemples ;

– ensemble quotient, projection canonique, passage au quotient d’une application.

Arithm´etique dans Z

– multiples et diviseurs, division euclidienne, pgcd, ppcm ; relation de Bézout ; théorème de Gauss ; résolution de l’équationax+by=cdansZ;

– congruences.

Groupes

– groupe, sous-groupe, morphisme et isomorphisme de groupes ; groupe produit ; groupe engendré par un élément ;

– ordre d’un ´el´ement ; groupe cyclique ;

– classes modulo un sous-groupe, théorème de Lagrange ; sous-groupe distingué, groupe quotient et passage au quotient d’un morphisme ;

– goupeZ/nZet ´etude des groupes cycliques ; – classes de conjugaison.

Anneaux et corps commutatifs

– anneau commutatif unitaire, sous-anneau, morphisme et isomorphisme d’anneaux ; anneau produit ; groupe des inversibles ; anneau quotientA/(a) et passage au quotient d’un morphisme ;

– anneauZ/nZ; isomorphisme du théorème chinois ; la fonction d’Euler ; – caractéristique d’un corps ; corpsF^p; le groupe des carrés dans (F^p)^∗;

– SiKest un corps fini, alors le groupeK^∗est cyclique ; application à des critères de primalité.

Construction de corps

– polynômes irréductibles ; irréductibles de R[X], deC[X], exemples de polynomes irréductibles surF^p;

– corpsL=K[X]/(P), o`uKest un corps (commutatif) etP ∈K[X] est irr´eductible ; dimension de l’espace vectorielLsurK;

– exemples de corps finis et de corps de nombres.

Objectifs : Approfondir la notion de groupe. En donner des exemples classiques et des applications en arithmétique. Ces notions, fondamentales en mathématiques, apparaissent dans divers concours de recrutement et sont couramment utilisées en Informatique (cryptologie) et en Chimie (cristallographie) par exemple.

(36)

Introduction ` a la logique math´ ematique

LO4 (6 ECTS, coef. 2)

Parcours pouvant intégrer cette UE : Mathématiques, et tout autre parcours, à l’appréciation du directeur des études.

– Fonctions monotones sur l’ensemble des parties d’un ensemble. Théorème de point fixe. Application aux définitions et raisonnement par induction.

– Calcul propositionnel. Preuves par induction sur l’ensemble des formules. Notions de satisfaction et de conséquence. Méthode de réfutation.

– Systèmes de déduction : axiomes et règles. Exemples : logique intuitioniste et logique classique. Déduction naturelle.

– Méthode des tableaux. Algorithme pour déterminer si une formule est conséquence d’un ensemble (fini) de formules. Correction et complétude de la méthode.

– M´ethode de Davis-Putnam. Algorithme pour d´eterminer si une formule sous forme normale conjonctive est satisfaisable.

– Un exemple de langage du 1er ordre : le langage de l’Arithm´etique.

Objectifs : Maˆıtriser les notions logiques de base (induction, d´eduction, m´ethodes constructives).

(37)

Projet pr´ e-professionnalisant PP1

PP1 (3 ECTS, coef. 1)

Modalités d’évaluation :présentation d’un rapport écrit et soutenance orale.

Pr´e-requis :

Parcours intégrant obligatoirement cette UE : Mathématiques Parcours pouvant intégrer cette UE : tous les autres parcours.

Programme des enseignements – participation mensuelle au Maths-Club

– exploration des débouchés professionnels des mathématiques et des mathématiques appliquées.

– exposé et rapport écrit sur une profession mettant en oeuvre des compétences mathématiques.

– participation aux activités type PP1 proposées par l’université.

Objectifs :Ce module propose une connaissance du monde professionnel en lien avec les mathématiques, autre que le monde enseignant. Il permet également à l’étudiant de faire des recherches bibliographiques et sur le terrain, et de rédiger un document de synthèse. Enfin les étudiants seront encouragés à suivre les formations PP1 proposés par l’université.

(38)

Unit´ es d’enseignement en S5

Alg` ebre

M13010 (12 ECTS, coef. 4)

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : L1-L2 mathématiques

Parcours intégrant obligatoirement cette UE : Mathématiques Fonda- mentales et Mathématiques pour l’Enseignement

–Groupes, sous-groupes, morphismes de groupes, éléments générateurs, groupes mo- nogènes, sous-groupes distingués, groupes quotients, produits, produits semi-directs, groupes opérant sur un ensemble, exemples, notament géométriques, stabilisateurs, orbites, groupe symétrique ; on pourra démontrer les théorèmes de Sylow.

–Anneaux, morphismes d’anneaux, groupe des inversibles, idéaux, anneaux quotients, anneauZ/nZ, idéaux premiers, idéaux maximaux, anneaux principaux, anneauxK[X]

o`uKest un corps commutatif.

– Extensions de corps. Corps de rupture, corps de décomposition. Corps finis. Rappels et compléments d’algèbre linéaire, groupeGL(n, k), sous-groupes remarquables.

Objectifs : Maˆıtrise élémentaire des structures algébriques de base. Indispensable pour la recherche fondamentale en Mathématiques et pour les concours de recrutement.

(39)

Topologie et calcul diff´ erentiel

M23010 (12 ECTS, coef. 4)

Parcours intégrant obligatoirement cette UE : Mathématiques Fonda- mentales, Mathématiques pour l’Enseignement et Mathématiques Appliquées Parcours pouvant intégrer cette UE :

–Espaces métriques, applications continues, ouverts, fermés, intérieur, adhérence, voi- sinages, frontière, limites, sous-espaces, produits d’espaces métriques.

– Espaces compacts, connexes, complets, applications uniformément continues, lip- schitziennes, distances équivalentes, complété d’un espace métrique, théorème du point fixe.

– Espaces vectoriels normés, normes équivalentes, notion de convergence uniforme, applications linéaires continues, espaces de Banach.

– Calcul différentiel : différentielle et dérivées partielles ; théorème des accroissements finis et formule de Taylor ; extrema : conditions nécessaires et conditions suffisantes.

–Théorème d’inversion locale et théorème des fonctions implicites ; notion de sous- variétés deRⁿ.

Objectifs :Maˆıtrise des structures de base de l’Analyse. Indispensable en Math´ematiques et pour les concours de recrutement.

(40)

G´ eom´ etrie affine et euclidienne

M33010 (6 ECTS, coef. 2)

Parcours intégrant obligatoirement cette UE : Mathématiques Fonda- mentales et Mathématiques pour l’Enseignement

Programme des enseignements G´eom´etrie affine

– espace affine, sous-espace, parallélisme ; application affine, translation, homothétie, projection ; théorème de Thalès ;

– barycentre ; – rep`ere affine ;

G´eom´etrie euclidienne

– espace affine euclidien, distance et orthogonalité, théorème de Pythagore, projection et symétrie orthogonale ;

– isométrie affine, déplacement ; classification des isométries en dimension 2 et 3 ; – angle de vecteurs dans le plan, mesure des angles, bissectrice d’un angle de vecteurs ;

angle de droites dans le plan, bissectrices ; théorème de l’angle au centre, condition de cocyclicité ;

– similitude plane ;

– coniques affines et euclidiennes : foyer, excentricité, recherche des axes et du centre ; – polarité par rapport à une conique non dégénérée.

Objectifs :Maˆıtrise des bases de la g´eom´etrie euclidienne et affine.

(41)

Topologie et calcul diff´ erentiel

M23020 (12 ECTS, coef. 4)

Parcours intégrant obligatoirement cette UE :Mathématiques appliquées Parcours pouvant intégrer cette UE :

–Espaces métriques, applications continues, ouverts, fermés, intérieur, adhérence, voi- sinages, frontière, limites, sous-espaces, produits d’espaces métriques.

– Espaces compacts, connexes, complets, applications uniformément continues, lip- schitziennes, distances équivalentes, complété d’un espace métrique, théorème du point fixe.

– Espaces vectoriels norm´es, notion de convergence uniforme, applications lin´eaires continues, espaces de Banach.

– Calcul différentiel : différentielle et dérivées partielles ; théorème des accroissements finis et formule de Taylor ; extrema : conditions nécessaires et suffisantes.

–Théorème d’inversion locale et théorème des fonctions implicites ; notions de sous- variétés deRⁿ.

Objectifs :Maˆıtrise des structures de base de l’Analyse. Indispensable en Math´ematiques et pour les concours de recrutement.

(42)

Int´ egration

M23110 (9 ECTS, coef. 3)

Parcours intégrant obligatoirement cette UE :Mathématiques Appliquées Parcours pouvant intégrer cette UE : tous les autres parcours.

Programme des enseignements Rappels sur l’int´egrale de Riemann.

–Tribus, théorème de la classe monotone, fonctions mesurables positives. Définition des mesures positives, mesure de Lebesgue. Intégrale de fonctions mesurables positives, fonctions intégrables.

–Théorème de convergence monotone, de convergence dominée, applications. Théorème de Fubini, formule de changement de variable, calculs effectifs d’intégrales.

–EspacesL^p, en insistant surL¹ etL². Convolution.

Objectifs :Maˆıtrise de l’intégrale de Lebesgue et de la théorie la mesure. Indispensable en master de mathématiques et pour l’agrégation.

(43)

Analyse num´ erique matricielle

M73010 (9 ECTS, coef. 3)

Parcours intégrant obligatoirement cette UE :Mathématiques Appliquées Parcours pouvant intégrer cette UE : tous les autres parcours.

– Rappels et compléments d’algèbre linéaire : Polynôme annulateur, polynôme minimal, polynôme caractéristique, valeurs propres, sous-espaces caractéristiques, diagonalisation, triangularisation. Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt. Ma- trices unitaires, normales, symétriques, hermitiennes. Formes bilinéaires, formes qua- dratiques, théorème de Sylvester.

–Analyse matricielle : Normes dansKⁿ, les normes`^p. Normes matricielles, normes subordonn´ees. Valeurs singuli`eres d’une matrice. Norme de Frobenius. Matrices hermitiennes : quotient de Rayleigh. Rayon spectral d’une matrice. Suite des puissances d’une matrice.

–Méthodes directes pour les systèmes linéaires : élimination de Gauss. Factorisation LU, unicité. Condition nécessaire et suffisante d’existence. Aspects algorithmiques.

M´ethode de Gauss avec pivot. Factorisation P A = LU. Factorisation de Choleski.

Factorisation QR. Probl`emes de moindres carr´es.

–Méthodes itératives pour les systèmes linéaires : - méthodes stationnaires : méthodes de Jacobi, de Gauss Seidel, de sur relaxation. Méthodes par blocs. Méthodes des directions alternées. - méthodes de descente : Gradient à pas fixe. Gradient à pas optimal. Gradient conjugué. Méthodes de résidu minimal.

–Méthodes de calcul des valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice : Méthodes de la puissance et de la puissance inverse. Méthode QR. Méthode de Jacobi.

Objectifs :renforcement des connaissances en algèbre linéaire. Maˆıtrise des logiciels employés, aper¸cu de l’analyse numérique des équations aux dérivées partielles. Très utile pour les concours de recrutement et le master de mathématiques appliquées.

(44)

Unit´ es d’enseignement en S6

Int´ egration et probabilit´ es

M43050 (12 ECTS, coef. 4)

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE : Math´ematiques Fonda- mentales

–Rappels sur l’intégrale de Riemann, tribus, théorème de la classe monotone, fonctions mesurables positives.

–D´efinition des mesures positives, int´egrale de Lebesgue.

– Intégrale de fonctions mesurables positives, fonctions intégrables. Théorème de convergence monotone, de convergence dominée, applications.

–Théorème de Fubini, formule de changement de variables, calculs effectifs d’intégrales.

–EspacesL^p, en insistant surL¹,L². Théorème de représentation de Riesz.

–Variables aléatoires, lois de probabilités, moments –Indépendance, conditionnement.

–Convergence presque sˆure, loi des grands nombres.

– Convergence en loi, th´eor`eme de la limite centrale.

Objectifs :Maˆıtrise des bases de l’intégrale de Lebesgue, de la théorie de la mesure et de la théorie des probabilités. Indispensable en master de Mathématiques et pour l’agrégation.

(45)

Espaces de Hilbert

M23080 (6 ECTS, coef. 2)

Pré-requis :L1, L2 Mathématiques, ainsi que le cours deTopologie et Calcul Différentielde S5

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE : Math´ematiques Fonda- mentales

–Rappels d’analyse, fonctions uniformément continues ; théorème de Stone-Weierstrass.

–Espaces pré-hilbertiens ; espaces de Hilbert ; projection sur un convexe fermé ; systèmes orthogonaux et bases hilbertiennes ; inégalité de Bessel et égalité de Parseval.

– Application aux séries de Fourier et exemples de résolution d’EDP par séries de Fourier.

Objectifs :Maˆıtrise des bases de l’analyse, indispensable pour les concours de recrutement.

(46)

Fonctions analytiques

M23040 (6 ECTS, coef. 2)

Parcours pouvant intégrer cette UE : Mathématiques Fondamentales, Mathématiques enseigenement et Mathématiques appliquées.

Programme des enseignements – fonctions holomorphes, conditions de Cauchy ;

– rappels sur les séries entières, fonctions analytiques ; principe des zéros isolés ; fonction exponentielle, fonction Logarithme ;

– int´egrale le long d’un chemin ; primitive locale d’une fonction holomorphe ; formule de Cauchy pour un cercle ; analycit´e d’une fonction holomorphe ;

– formule de la moyenne, principe du maximum, théorème de Liouville ; démonstration du théorème de d’Alembert-Gauss.

Th´eorie de Cauchy

– invariance de l’int´egrale d’une fonction holomorphe par homotopie de lacets (´eventuellement admis) ;

– indice d’un point par rapport à un lacet ; formule de Cauchy ; – fonction méromorphe, pôle ; théorème des résidus ; applications.

Objectifs :Maˆıtrise d’un sujet très classique et important. Indispensable pour les concours de recrutement, très utile en master de mathématiques et dans d’autres domaines (mécanique, physique...).

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Equations diff´ ´ erentielles ordinaires

M23090 (6 ECTS, coef. 2)

Parcours intégrant obligatoirement cette UE : Mathématiques Fonda- mentales et Mathématiques pour l’Enseignement.

– Résolution des équations différentielles numériques x⁰ = f(x) et des ´equations à variables séparées.

–équations différentielles linéaires dansRⁿ, matrice résolvante, cas où les coefficients sont constants, détaillé sin= 2.

–Problème de Cauchy pour les systèmes différentiels généraux, théorème d’existence et d’unicité, solutions maximales.

–Inéquations différentielles, comparaison des solutions, barrière.

–Champs de vecteurs, équilibres, stabilité, linéarisation, fonction de Lyapounov.

Objectifs :Maˆıtrise de l’analyse diff´erentielle. Indispensable en Master de Math´ematiques et pour les concours de recrutement.