I126. Chaˆıne bris´ ee
On choisit au hasard dans le plan 2016 segments de longueur 1. Montrer que l’on peut toujours les translater et les mettre bout `a bout de sorte que la distance entre les deux extr´emit´es de la chaˆıne bris´ee soit au plus ´egale `a π/2 = 1.5707963...
La distance maximale n’est pasπ/2mais√ 2.
Soit les vecteurs unitaires V~1(= OA),~ V~2, V~3, V~4, et V~5, rang´es dans l’ordre des angles croissants par rapport `a V~1 pris arbitrairement comme r´ef´erence.
Limitons-nous `a 4 vecteurs pour le moment.
Le probl`eme peut ˆetre vu comme la recherche de la somme minimale en module parmi les2(n−1) expressions :
S~=V~1±V~2±V~3±V~4
(Le fait de prendre toujours V~1 et jamais son oppos´e revient simplement `a ig- norer les solutions sym´etriques par rapport `a l’origine).
Une fois trouv´ee la solution optimale, on peut profiter de la commutativit´e de l’addition vectorielle pour r´earranger les vecteurs avec leur signe suivant un tra- jet diff´erent, par exemple un parcours convexe, ou au contraire un parcours tr`es compact.
Mais sans chercher cette solution, et parce qu’il y a en g´en´eral plusieurs solu- tions dont l’extr´emit´e est `a l’int´erieur du cercle de rayon√
2, on peut suivre la proc´edure suivante:
A/ Rep´erer, parmi l’ensemble des n vecteurs unitaires et de leurs oppos´es, l’´ecart angulaire maximal entre 2 vecteurs cons´ecutifs. Choisir le vecteurV~1de r´ef´erence pour que cet ´ecart se situe entreV~net l’oppos´e deV~1.
B/A chaque nouveau vecteur ajout´e `a la somme, tester l’addition deV~iet celle de son oppos´e, et garder celui des deux dont la distance `a l’origine est la plus faible.
Le trajet obtenu est enti`erement `a l’int´erieur du cercle de rayon√ 2.
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Dans la construction en rouge de l’exemple ci-dessus avec 4 vecteurs :
V\3OV4 < V\4OV10. Le premier vecteur est donc V~1 et le parcours ABCD2
correspond `a V~1−V~2+V~3−V~4.
Si on ajoute maintenant V~5, l’´ecart angulaire maximal est entre V~3 et V~4. Le vecteur de r´ef´erence devient V~40 et le parcoursOA0B0C0D0E0 (en violet) cor- respond `a −V~4+V~5+V~1−V~2+V~3.
Dans les images qui suivent, celle de gauche illustre la construction des 128 sommes possibles de 8 vecteurs : le cercle a un rayon deπ/2, le carr´e un cot´e de 2. Comme le premier vecteur est orient´e suivant l’axe Ox, il y a toujours au moins une extr´emit´e `a l’int´erieur du carr´e.
L’image de droite illustre l’un des 2 cas typiques avec 128 vecteurs r´epartis sur le tour. Le cercle int´erieur a un rayon de√
2, et l’extr´emit´e distante est marqu´ee par un cercle rouge. L’autre cas typique se compose d’un seul ’oursin’. Pour obtenir la distance maximale de √
2 avec 2016 vecteurs, il faut en prendre un nombre impair orient´es `a00et le compl´ement (impair aussi) orient´es `a 900, ce qui revient `a n’avoir que 2 vecteurs perpendiculaires entre eux.
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