Universit´e de Cergy-Pontoise, Math´ematiques L1 Calculus.
Examen session 2 2017-2018 1 heure et 30 minutes
Les documents, t´el´ephones, tablettes et calculettes sont interdits. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Exercice 1. : (2 pts)SoitI un intervalle deR, eta,b,c:I →Rtrois fonctions continues.
On consid`ere l’´equation (E) d’inconnue y : I → R donn´ee par ay′ +by = c. Indiquer si les phrases suivantes sont vraies ou fausses, sans justification. R´eponse correcte : +0,5 points, r´eponse incorrecte : -0,5 point, pas de r´eponse : 0 points. La note minimale pour l’exercice est 0.
1. (E) a toujours une solution.faux
2. Sia ne s’annule pas et c= 0, (E) a toujours une solution.vrai 3. Sia ne s’annule pas, (E) a toujours une solution.vrai
4. siy1 et y2 sont deux solutions de (E) alors y1+y2 est une solution de (E). faux
Exercice 2. : (7 pts) Sur ]0,+∞[ on consid`ere I(x) =Rx (1+t4)t
1+t6 dt. Effectuer le change- ment de variable donn´e par la fonction C1 d´efinie par u(t) = t2. Calculer I.
Nota Bene : Une r´edaction soign´ee est de rigueur. Notamment, on n’h´esitera pas `a d´e- composer les calculs en plusieurs sous-calculs. On va poser u(t) = t2, on a u′(t) = 2t.
Ainsi, par la formule de changement de variable,
Z x
(1 +t4)t
1 +t6 dt= 1 2
Z x
(1 +u(t)2)u′(t)
1 +u(t)3 dt= 1 2
Z x2
1 +t2
1 +t3dt .1pt
+0,5 pt si le changement de variable est effectu´e de cette fa¸con −1est une racine de1+t3, et une division euclidienne donne 1 + t3 = (t+ 1)(t2−t+ 1), et t2 −t+ 1 n’a pas de racines r´eelles. On calcule
1 +t2 1 +t3 = 1
3 2
1 +t + t+ 1 1−t+t2
.1pt
On a
I(x) = 1 6
Z x2
2
1 +tdt+ 1 6
Z x2 t+ 1 1−t+t2dt
= 1
3ln(1 +x2)0,5pt+ 1
6I1(x) . On a
I1(x) = Z x2
t+ 1
1−t+t2dt= 1 2
Z x2
2t+ 2
1−t+t2dt= 1 2
Z x2
2t−1
1−t+t2 + 3
1−t+t2dt . 1
= 1
2ln(1−x2+x4) + 3 2
Z x2
1
1−t+t2dt .1pt
Aussi, 1−t+t2 = (t−12)2−14 + 1 = (t−12)2+34 = 34((2t√−31) + 1), et avec un changement de variable classique, on a Rx2 1
1−t+t2 dt= √23arctan
2x√2−1 3
+C, C ∈R 1pt. `A la fin,
I(x) = 1
3ln(1 +x2) + 1
12ln(1−x2+x4) + 1 2√
3arctan
2x2−1
√3
+C, C ∈R . +1 si le r´esultat est exact `a la fin +1 pour la pr´esence des constantes
Exercice 3. : (6 pts) R´esoudre sur R l’´equation
y′′+ 2y′+y=xsinh(x).
(Indication : on pourra utiliser sans d´emonstration le fait que la fonction y(x) = x63e−x est solution de l’´equation y′′ + 2y′ +y = xe−x) On r´esoud d’abord l’´equation homog`ene associ´ee y′′ + 2y′ + y = 0 (0,5pt). Son ´equation caract´eristique est r2 + 2r + 1 = 0 dont −1 est une solution double (0,5pt). On sait alors que les solutions de l’´equation homog`ene sont les y(x) = (λ+µx)e−x (1pt). On cherche une solution particuli`ere. Comme sinh(x) = 12(ex−e−x) (0,5pt) on va d’abord chercher une solution de y′′+ 2y′+y =xex (0,5pt) pour la superposition. Comme 1 n’est pas solution de l’´equation caract´eristique, on cherche la solution sous la forme Q(x)ex avec Q de degr´e1, c’est-`a-dire Q(x) =ax+b (1pt). En reportant dans y′′+ 2y′+y =xex on trouve Q(x) = 14(x−1) (0,5pt) si calcul juste . Comme l’indication nous donne une solution de y′′+ 2y′ +y = xe−x, alors une solution dey′′+ 2y′+y=xsinh(x)est y(x) = 12(14(x−1)ex−x63e−x)(0,5pt) pour la bonne utilisation de l’indication . Au final, l’ensemble des solutions de l’´equation de d´epart est {y : R → R|y(x) = (λ+µx− x123)e−x + 18(x−1)ex, λ, µ ∈ R} (1pt) le point entier n’est accord´e que si l’ensemble est correctement ´ecrit .
Exercice 4. : (5,5 pts) Soit f(x,y,z) =zln
ex2+z+y .
1. Donner le domaine de d´efinition def. (1 pt){(x,y,z)∈R3|ex2+z+y >0} 2. Donner le graphe def.(1 pt){(x,y,z,t)∈R3|t=zln
ex2+z+y } 3. Donner les d´eriv´ees partielles de f (2,5 pt) ∂f∂x(x,y,z) = 2zxex2+z
ex2+z+y,∂f∂y(x,y,z) =
z
ex2 +z+y,∂f∂z(x,y,z) = ln
ex2+z+y
+ zex2+z
ex2+z+y . 0,75 point pour chaque d´eriv´ee cor- recte + 0,25 point si on a bien ∂f∂x(x,y,z) = au lieu de ∂f∂x =. On ne donne aucun point pour toute pr´esence de f′.
4. Montrer quef n’a pas de maximum. (1 pt)Par exemple, quand x tend vers +∞, alors f(x,0,1)tend vers +∞, donc la fonction n’est pas major´ee, donc elle n’a pas de maximum.
Fin de l’´epreuve.
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