Universit´e de Cergy-Pontoise, Math´ematiques L1 Calculus.
Examen session 2 2017-2018 1 heure et 30 minutes
Les documents, t´el´ephones, tablettes et calculettes sont interdits. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Exercice 1. : (2 pts)SoitI un intervalle deR, eta,b,c:I →Rtrois fonctions continues.
On consid`ere l’´equation (E) d’inconnue y : I → R donn´ee par ay′ +by = c. Indiquer si les phrases suivantes sont vraies ou fausses, sans justification. R´eponse correcte : +0,5 points, r´eponse incorrecte : -0,5 point, pas de r´eponse : 0 points. La note minimale pour l’exercice est 0.
1. (E) a toujours une solution.
2. Sia ne s’annule pas et c= 0, (E) a toujours une solution.
3. Sia ne s’annule pas, (E) a toujours une solution.
4. siy1 et y2 sont deux solutions de (E) alors y1+y2 est une solution de (E).
Exercice 2. : (7 pts) Sur ]0,+∞[ on consid`ere I(x) =Rx (1+t4)t
1+t6 dt. Effectuer le change- ment de variable donn´e par la fonction C1 d´efinie par u(t) = t2. Calculer I.
Nota Bene : Une r´edaction soign´ee est de rigueur. Notamment, on n’h´esitera pas `a d´e- composer les calculs en plusieurs sous-calculs.
Exercice 3. : (6 pts) R´esoudre sur R l’´equation
y′′+ 2y′+y=xsinh(x).
(Indication : on pourra utiliser sans d´emonstration le fait que la fonction y(x) = x63e−x est solution de l’´equation y′′+ 2y′+y=xe−x)
Exercice 4. : (5,5 pts) Soit f(x,y,z) =zln
ex2+z+y . 1. Donner le domaine de d´efinition def. (1 pt) 2. Donner le graphe def.(1 pt)
3. Donner les d´eriv´ees partielles de f (2,5 pt) 4. Montrer que f n’a pas de maximum. (1 pt)
Fin de l’´epreuve.
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